Знаменатель - Олимпиадная математика. Страница 21
1203
@znamenatelclub
Математический кружок Знаменатель - Олимпиадная математика для детей 9-12 лет. Онлайн-курсы, интерактивы, рабочие тетради. Наш сайт https://znamenatelclub.ru/
-
Знаменатель - Олимпиадная математика
Мои любимые книги по математике Я личность увлеченная, а потому люблю на досуге почитать и сборники задач, и научно-популярную литературу по математике. Собрала для вас список книг, которые пригодятся при изучении олимпиадной математики и логики. 📌Мартин Гарднер — Математические досуги и развлечения. Это книги моего детства, которые достались мне от дедушки. В них дан простой и понятный обзор популярных задач и головоломок. Идеи из этой книги я до сих пор использую на своем кружке, когда нужно показать детям классные математические штуки. 📌Александр Шаповалов — Принцип узких мест, Как построить пример и От хижин к дворцам. Все книги хороши тем, что дают универсальные идеи, которые работают в задачах на самые разные темы. Простая мысль "нужно думать с узкого места", но Александр Васильевич разъясняет и показывает это на конкретных примерах. Для начинающих эти глобальные принципы кажутся сложными, ведь все задачи выглядят разными. Но с получением опыта вы сможете определять, какая универсальная идея подходит для решения конкретной задачи. 📌Эдуард Френкель — Любовь и математика. Книга про жизненный путь Эдуарда Френкеля и современную математику, в первую очередь программу Ленглендса — программу великого объединения в математике, которая сплетает в одну сеть алгебру, геометрию, теорию чисел, анализ и квантовую физику. 📌Реймонд Смаллиан - Как же называется эта книга? Настоящая находка для любителей логических задач. Не стоит воспринимать ее только как художественно оформленный сборник головоломок. Во вступительной статье читателю обещают "восхождение к одной из вершин современной математической логики". Попробуйте, не пожалеете. 📌Инесса Раскина — Логика для всех. Это по сути сборник 10 занятий маткружка и методические занятия для учителя, поэтому книга лучше всего подойдет педагогам и родителям, которые обучают детей самостоятельно. 📌Дьёрдь Пойа — Как решать задачу. Книга учит использовать известные задачи и известные решения для работы с новыми задачами, а еще позволяет "шевелить" условия задач и смотреть, как изменяется решение. Такие методы позволяют использовать ассоциации и шире смотреть на задачи. Ну и ассоциативный метод очень помогает в олимпиадной математике. 📌Елена Козлова — Сказки и подсказки. Сборник из 350 задач с подсказками и ответами. Особенно мне нравится система подсказок с математическими идеями, которые можно раскрутить до полноценного решения. Если у вас не получается решить задачу, то вам не придется расстраиваться и терять удовольствие, вы можете воспользоваться подсказкой. Именно так я стараюсь работать на своем кружке. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Внутренняя и внешняя мотивация в маткружках Если вы бегаете себе в радость — это внутренняя мотивация, а если за вами бежит большая и страшная собака — мотивация внешняя. В учебе и позитивных изменениях внутренняя мотивация имеет важное значение. Бросать курить лучше для своего здоровья, а не потому что кто-то проедает вам мозг. Решать олимпиадные задачки полезно в свое удовольствие, а не потому что заставляют родители. Сейчас в кружковой математике есть два подхода, которые опираются на мотивацию учеников. Одни стараются набирать в кружки исключительно заинтересованных ребят, которым в кайф решать задачи. К таким отношусь и я, ведь я выступаю за то, чтобы математика была в радость. Другие стараются привлечь как можно больше детей за счет геймификации процесса. В таких кружках обучение превращают в игру, вводят систему достижений и штрафов, проводят сюжетные квесты и все в таком духе. Раньше мне казалось, что внешняя мотивация — это вредный костыль: не будет его, не будет и удовольствия от математики. Сейчас думаю, что в этом нет ничего страшного. Лично у меня практически отсутствует внутренняя мотивация для учебы или изменений, поэтому я использую внешнюю: коучей и игры. Думаю, это связано с глобальной усталостью, нехваткой ресурсов, хандрой и СДВГ. Последнее правда палка о двух концах: я либо не способна сосредоточиться дольше чем на 20 секунд, либо могу увлеченно заниматься делом несколько часов подряд. Не думаю, что нехватка сил и глобальная усталость — это бич только тех, кому за 30 😔 Современные дети после школы бегут на очные кружки, а вечером у них онлайн-занятия. У некоторых ребят такой график без выходных, дети устают. Поэтому если у ребенка случается мотивационный провал, нет ничего страшного, чтобы приободрить его морковкой за правильно решенную задачу или отправить решать математику в игровой форме. А значит, лучше всего совмещать эти два способа мотивации, а еще выделять достаточно времени для отдыха. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Я — шопоголик И я этим не горжусь. Я обожаю после тяжелого рабочего дня залечь на диван и начать шопиться в интернет-магазинах. Для меня это способ расслабиться и наградить себя после трудовых успехов. Если днем я полна сил и энергии, то мне не хочется себя радовать таким путем. Но вечером сила воли исчерпана и начинается. Раньше я покупала всякую чушь для собаки, например, развивающие головоломки для щенка, панамку и рюкзачок, львиную гриву и костюм поросёнка. Из всех этих вещей Ася выросла через пару месяцев. Мы с ней сошлись на том, что лучше тратиться на собачьих вкусняшки, а не новые костюмы. Для себя я тоже покупала очень странные вещи как кольцо в виде мопса, кольцо всевластия и сердце океана как в Титанике, плюшевого голубя, кольцо для похудения и кольцо от храпа. Моя квартира завалена странными тренажерами, бьюти-улучшайзерами и плюшевыми игрушками. Но теперь у меня появилось всепоглощающее хобби — вязание крючком. Поэтому сейчас весь мой шоппинг состоит в покупке километров пряжи на мои изделия. По самым скромным подсчетам я навязала уже 50 км пряжи и не могу остановиться ни вязать, ни покупать пряжу. Еще я очень люблю покупать разные головоломки: у меня около десятка разных модификаций кубика Рубика, которые я ношу на занятия. Также мне как-то очень понравилась головоломка кубики Сома, и я решила самостоятельно собрать несколько комплектов. На Али я купила тысячу деревянных кубиков размером 1*1*1 см, и наклеила из них головоломки. Мне так понравилось, что за все время я купила 5 тысяч таких кубиков. Правда во время кризиса мой шопоголизм перешел в стадию ремиссии. Теперь я просто складываю товары в корзинку, вздыхаю и закрываю интернет-магазин. А вы часто покупаете странные вещи? -
Реклама
-
Знаменатель - Олимпиадная математика
Привет! По выходным наши друзья — проект Vles_go организуют познавательные прогулки и выезды с потрясающими биологами, географами, экологами. А также подвижные веселые дворовые игры. Такие как были в нашем детстве 😀, помните — «Тише едешь дальше будешь», «Золотые ворота», «Чай-чай-выручай»? Ведет игровой психолог-педагог из Новой школы. Дети из нашего кружка постоянно ходят — им очень нравится. Всем советуем! В следующую субботу (23.04) будет очень интересный выезд в красивейшее место Подмосковья, где останавливается огромное количество переплётных птиц (и как раз сейчас они мигрируют), а так же дети будут изучать на местности следы разных животных — там можно обнаружить даже следы рыси. Кому интересно — добавляйтесь в чат, там вся информация. https://t.me/+tw1a5XzME5s3MTgy Vles_go Клуб продвинутых детей и родителей You’ll see so many living things But everything is changing
-
Знаменатель - Олимпиадная математика
Друзья. Завтра занятия в Трансформере по плану. Группы, матбои, пицца. Занятия ведут мои ассистенты Аня, Егор и Алёна. Они получили от меня ценные указания. Со мной всё в порядке, просто нужен перерыв. Кого что-то не устроит, пишите и звоните, будем решать вопросы -
Знаменатель - Олимпиадная математика
На днях меня спросили, почему я не добавлю к своим курсам ТРИЗ — теорию решения изобретательских задач. С помощью методов ТРИЗ изобретатели разрешают противоречия: автобус должен быть одновременно длинным, чтобы вместить больше пассажиров, и одновременно коротким, чтобы быть маневренным на дорогах. ТРИЗ находит решение такого противоречия — автобусы с гармошкой или двухэтажные. Я сразу же подготовила длинную отповедь на тему, почему не хочу преподавать ТРИЗ детям. Во-первых, ТРИЗ — это не волшебная палочка и ключ к решению всех задач, а только набор методов как думать. Эти методы направлены на преодоление инертности мышления, которая у детей выражена гораздо слабее, чем у взрослых, мозги которых привыкли ездить по одним и тем же рельсам. Поэтому если и преподавать ТРИЗ, то взрослым. А во-вторых, ТРИЗ размывает математические границы. У меня были дети-тризовцы, которые решали олимпиадные задачи методами ТРИЗ. Например, в задачах на переправы, где нужно переправить волка, козу и капусту, дети предлагали повалить дерево и переправиться по нему или привязать капусту ко дну лодки. Оригинальный подход — это хорошо, но не тогда, когда в задаче четко обозначены математические рамки. Пока я формулировала мысль о том, что ТРИЗ в математике только вредит, я поняла, что научить ребенка мыслить нестандартно — это тоже важная задача. Научить мыслить творчески сложнее и полезнее, чем научить детей соблюдать математические рамки. Кроме того, на занятиях я сама использую элементы ТРИЗ, просто называю их набором способов думать. Я всегда учу детей помнить, что решение можно повернуть, растянуть или сократить в 2 раза. Я обучаю детей использовать не типовые алгоритмы, а идеи, которые помогают решать задачи на самые разные темы. Эти идеи я собрала в специальную тетрадь, которая пригодится ребятам и в кружке, и на олимпиаде, и на школьных уроках. Не обязательно предметно изучать ТРИЗ, чтобы научиться думать нестандартно. Этому мы и учимся на уроках олимпиадной математики. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Раньше я очень боялась ошибаться. Это началось в детстве, когда я училась играть на фортепиано. Я начинала играть пьесу и при первом косяке я не продолжала играть дальше, а начинала снова. Я отрабатывала начало миллион раз, а концовка получалась смазанная, до нее я не добиралась. С тех пор страх ошибки мог меня парализовать, особенно перед началом нового дела. Я помню, как мне было страшно открывать ИП и начинать работать на себя, как страшно ошибиться при разборе задач в своих видеокурсах и как страшно было начинать вести блог, вдруг скажу что-то не так или ошибусь в своих выкладках. Современные дети тоже боятся ошибаться. Они боятся выходить к доске из-за страха не решить задачу и оказаться опозоренным. Они боятся показывать родителям диктант с одной ошибкой, потому что написали неидеально. Ребенка не похвалят за то, что он совершил только одну ошибку и все остальное написал правильно. А во взрослой жизни ошибки чреваты штрафами, нагоняями от начальства и социальными проблемами. Но теперь я уверена, что ошибка — это точка роста. Я ошибаюсь не потому, что я такая глупая, неспособная и неталантливая. А только потому, что делаю что-то новое и что-то, чему нужно учиться. Даже учиться ходить у всех нас получилось далеко не сразу, мы падали, но вставали снова. И даже сейчас умудряемся спотыкаться и падать. Ошибки учат шире смотреть на мир и учиться чему-то новому. Отрицая их, мы закрываем двери для воображения и творчества. На занятиях я делаю акцент не на ошибке ребенка, а на его достижениях. Моя любимая фраза "Хорошо, но неправильно, давайте посмотрим с другой стороны". Я хочу сказать и детям, и их родителям, чтобы они не боялись ошибаться, ведь страх накосячить блокирует любое начинание. Ошибка в диктанте или задаче, невовремя сданный отчет или публичный ляп — это может и страшно, но не катастрофа. Настоящая ошибка состоит в том, чтобы остановиться в развитии и лишить себя возможности творить из страха ошибиться. А вы знали, что часть современных открытий была сделана по ошибке? Например, Колумб плыл в Индию, но просчитался и попал в Америку. А кардиостимулятор был создан из устройства для записи сердечных ритмов из-за рассеянности Уилсона Грейтбатча, который отвлекся и сунул в схему не тот резистор. Ну а пенициллин был открыт только потому, что Александр Флеминг не слишком любил наводить порядок в своей лаборатории и забыл вовремя убрать образцы. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
В 1985 году Бенуа Мандельброт исследовал итерации — он многократно применял простые формулы и отправлял их на печать. То, что выдавал принтер, зачаровывало, ведь это были первые наброски фрактального мира. Первой формулой для множества Мандельброта была x^2+c. Математики многократно повторяли итерации, подставляя результат предыдущего расчета в следующий. Давайте выберем значение с, пусть оно будет равно 0,5, а х=0. На первом шаге получится 0^2+0,5=0,5. Результат подставим вместо х, получим 0,5^2+0,5=0,75. И дальше результат подставляем вместо х. На третьем шаге получим 0,75^2+0,5=1,0625. При таких значениях расчеты можно проводить бесконечно. Давайте попробуем отрицательную константу. При с=−0,5 последовательность не убегает в бесконечность, а приближается к числу –0,366. Если в формулу подставлять действительные числа, то принтер нарисует одномерное множество Мандельброта, которое похожее на детский рисунок. Другое дело, если в формулу подставлять двухмерные комплексные числа. Здесь фракталы предстают перед нами во всей красе. Последовательность творит всякие удивительные вещи — например, пляшет между несколькими точками, но не утекает в бесконечность. Множество Мандельброта указывает нам на ключевое свойство фракталов — самоподобие, и эта красота уже тянет на произведение искусства. Сегодня фракталы широко применяются для моделирования природных процессов, например роста растений или образования облаков. Также фракталы уже применяют для моделирования роста морских организмов — кораллов и губок. Фрактальным также является разрастание современных городов, а еще при помощи фракталов моделируют деятельность мозга и движение цен на фондовых рынках. Множество Мандельброта не стало первым исследованием фракталов, и не было единственным. Среди других знаменитых фракталов можно вспомнить снежинку Коха и треугольники Серпинского. Такие фракталы мы с детьми рисуем на занятиях, их можно рисовать бесконечно. Ну а на картинке ниже фракталы, которые встречаются в живой природе. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Школа необходима для социализации? Существует мнение, что дети на семейном образовании сидят в 4 стенах дома и никак не социализируются. И только школа способна дать детям социум, в котором они научатся строить и поддерживать связи. Но для социализации не обязательно ходить в школу. Мой племянник Артемий живет в деревне недалеко от Костромы, занимается дома и выращивает куриц. И его круг общения не ограничен курицами. Он посещает секции и кружки: в деревне у них есть конюшня и ледовая арена, а в Кострому Артемий ездит на занятия в бассейне. Вместе с другими родителями-семейниками моя сестра организовала что-то вроде клуба, в котором есть театральная студия, литературные чтения, гитара, шахматы, английский, а она сама там проводит занятия по химическим опытам. А еще Артемий ходит в экзотариум и посещает занятия биологического кружка. Даже живя в деревне можно найти возможность для посещения интересных мест и увлекательных занятий. А в разных местах учатся разные дети. На конюшне Тёма общается с деревенскими детьми, которые умеют работать руками. В костромском бассейне он общается со спортсменами — людьми другого характера и другого типа поведения. В семейном клубе он среди увлеченных соратников. А в воскресной школе он общается детьми, которые близки к православию. Это огромные возможности для социализации. В школе ребята варятся в одном коллективе, а здесь такое разнообразие. И ребенку приходится учиться взаимодействовать и с суровыми спортсменами, и с домашними ребятами-семейниками, и с деревенскими ребятами, которые могут и крепкое словцо вставить, и коня на ходу остановить. С семейным образованием я знакома и в роли педагога. Я обучала детей-семейников, которые собрались увлеченной группой для изучения математики и лингвистики. И эти дети точно также кочевали из одного кружка в другой, по музеям и экскурсиям. И везде они встречали новых людей. Конечно, в Москве и Костроме стоимость такого образования отличается, но и в деревне, и в столице при желании возможно организовать качественное семейное образование. Понятно, что далеко не у всех родителей есть возможность и желание заниматься семейным образованием. Но социализация возможна и в школе, и на семейном. И кажется, что второй вариант даже лучше. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Ребенку некомфортно на занятиях и он не хочет туда ходить Я его понимаю. Я люблю когда комфортно: учеба через страдания не для меня и не для моих учеников. Поэтому на занятиях я стараюсь устроить все максимально комфортно. В этом мне помогают ассистенты. Аня, Алена, Ника и Егор всегда помогают мне поддерживать приятную атмосферу в классе и уделять внимание каждому ребенку. Иногда у нас случаются занятия, где на каждого ребенка есть свой взрослый, так что можно говорить об индивидуальном подходе. Случается, что со сложностью задач мы не угадали, и тогда родители просят упростить или усложнить задания. Я с радостью на это иду, ведь ощущение успеха повышает детскую мотивацию. А если на занятии кто-то расстроился из-за нерешенной задачи, Алёна всегда нальет водички и найдет нужные слова. К детям я всегда обращаюсь на Вы, ведь субординация действует в обе стороны. Тыкать детям и обращаться к ним в стиле "а голову ты дома не забыл?" — это токсичность, которую я не приемлю. Я стараюсь отслеживать любую токсичность в поведении детей, ассистентов и себя. А еще дети чувствуют себя увереннее, когда к ним относишься как к взрослым. Но дети остаются детьми, поэтому для поощрения ребят я держу в столе морковку, яблоки или свежие огурцы. Раньше мы хвалили детей конфетами, но решили, что фрукты и овощи куда полезнее. И конечно же у нас в кабинете всегда есть питьевая вода, чайник, вкусные чаи, какао и печеньки. С введением математических боев дети стали оставаться в кружке на несколько часов: успеть и на свои занятия, и на матбой, и на занятия братьев/сестер. За это время все успевают проголодаться, поэтому на матбой мы традиционно заказываем пиццу. Особая фишка занятий — это возможность родителям присутствовать на занятиях. Не все этим пользуются, но есть такие семьи, где родители ходят на занятия с большим удовольствием, превращая наш кружок в семейных отдых. Если ребенок не может прийти занятие в свой день, то мы ждем его на другой площадке, чтобы не пропускать занятие. Вы всегда можете прийти к нам на занятия и попробовать. Если не понравится, платить не нужно. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Какая у хаоса может быть теория? Хаос — это же как раз отсутствие всякой теории. Или нет? В 1812 году Пьер-Симон де Лаплас высказал теорию о детерминированной вселенной: если бы мы определили все расположения и скорости всех объектов вселенной, а также все существующие силы, то мы могли бы рассчитать эти значения для любого момента времени в будущем. Вселенная и всё в ней стало бы полностью определено. Ну хорошо, приблизительно мы знаем всё это, почему же тогда не определить вселенную для любого момента времени? Лаплас полагал, что если вы вышли на работу на 1 минуту позже обычного времени, то и придете на 1 минуту позже. Ведь небольшие изменения начальных условий мало меняют результат. Теория хаоса не оставила от этих представлений камня на камне. Небольшое изменение исходных условий делает систему непредсказуемой. Вы вышли на 1 минуту позже, не успели на обычный автобус, поехали другим, увидели в нем объявление о вакансии мечты и решили уволиться с опостылевшей работы. А всего то опоздали на 1 минуту. Это эффект бабочки. Он был открыт благодаря лени. В 1961 году метеоролог Эдвард Лоренц заленился вбивать данные с точностью до 6 знаков после запятой и решил обойтись точностью в 3 знака. Это были рутинные вычисления и Лоренц примерно знал, какие погодные кривые будут построены. Но результат был абсолютно иным. Вот так лень снова стала двигателем прогресса. С тех пор мы знаем, что даже самые незначительные изменения и ошибки могут приводить как к новым открытиям, так и масштабным катастрофам. Это и есть теория хаоса. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Решение разных типов задач на матбоях. Часть 2 Задачи на комбинаторику В задачах такого типа надо доказать, что все варианты посчитаны без повтора. Далее нужно указать, как произведен подсчёт и пояснить, почему он соответствует условию задачи. Оппонировать такие задачи можно вопросами «Докажите, что ваш перебор полный» или «Докажите, что вы посчитали все без повтора». Задачи на стратегию В этих задачах описывает правила игры, и вам нужно сформулировать выигрышную стратегию для одного из игроков. Выигрышная стратегия может быть ТОЛЬКО у одного игрока, первого или второго. Бывают игры с ничейной стратегией, она может быть у обоих игроков. Стратегию игры требуется формулировать в зависимости от действий соперника, который может ходить нелогично или сделать анализ позиций. «Будем действовать по ситуации» — это НЕ стратегия. В итоге вам нужно ответить на вопрос «Почему при данной стратегии соперник не может выиграть раньше». Этот же вопрос можно задать при оппонировании задачи. Невезучий Петя (Какое наименьшее количество, чтобы точно попалось?) При решении невезучих задач требуется сформулировать числовой ответ исходя из стратегии «напрочь не везет». То есть сколько надо достать, чтобы даже в случае полного невезения выполнилось условие. В решении нужно объяснить, почему более маленький ответ не подходит и показать, что при более маленьком числе могут не выполнятся условия. При этом «напрочь не везет» — это не математическая формулировка, поэтому в докладе нужно доказывать решение с использованием принципа Дирихле или метода от противного. Например, если в мешке два цвета, а мы вытащили три шарика, они точно не могут быть все разные, так как тогда у нас было бы три цвета, а у нас два. При оппонировании этих задач можно задать вопросы «Почему нельзя использовать меньшее количество предметов» или «Почему этого количества точно хватит». Взвешивания В решении задач на взвешивания дерево должно содержать все случаи, даже если напрочь не везет. Если Вы рассмотрели одну ветку решения и нашли искомое, а вторую ветку не показали, то это может оцениваться как нулевое решение. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Как решать задачи на математических боях. Часть 1 Каждые выходные мы проводим живые математические бои, поэтому я решила составить небольшую шпаргалку как докладывать и оппонировать задачи разных типов. Оценка плюс пример В ответе должны быть на задачи типа "найти что-то наибольшее/наименьшее" обязательно требуется предъявить пример и оценку. В примере обязательно требуется объяснить, почему он подходит. А в оценке нужно объяснить, почему нельзя найти лучше ответ. Важно! Объяснение в стиле «в мой пример нельзя ничего добавить/убрать, поэтому он самый лучший» — это не оценка, его можно прооппонировать вопросом «А почему не существует принципиально другого примера, который больше/меньше, чем ваш». Сколько? Найти все ответы и объяснить, почему нет других. Если решение задачи по действиям или уравнениями, то оно приводит ко всем ответам, и дополнительно доказывать ничего не нужно. Если ответ угадан/найден подбором, то надо объяснить, почему нет других ответов. Подбор с объяснением, почему нет других вариантов, является полноценным решением. Ребусы Найти все решения ребуса и доказать, что нет других. ЛИБО доказать, что ребус не решается. Процесс решения ребуса сам является доказательством, надо при докладе его просто повторить по шагам. Если вы оппонируете ребус, то вам нужно смотреть, все ли решения указал докладчик. Разрезалки Они же конструктивки. Здесь все просто, достаточно одного ответа, примера или картинки. В разрезалках по сути нечего оппонировать, поэтому на них лучше не вызывать, а быть вызванными. Если вы все таки вызвали на разрезалку, внимательно смотрите, чтобы пример точно подходил под условие задачи. Бессмысленно доказывать, что такая задача не решается. Практически всегда в задачах на разрезание или построение примера это сделать можно. Нельзя этого сделать, только если ошиблась методическая комиссия. Поэтому доказывать что-то бессмысленно, пытайтесь резать. Задачи на соответствие В логических задачах нужно найти все ответы и объяснить, почему нет других. Процесс заполнения таблицы или нахождения соответствия является решением. Но недостаточно просто нарисовать таблицу, нужно объяснить процесс заполнения. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Математические игры на смартфон Я обожаю математические игры, и оказалось, что существует множество приложений на эту тему. Но у меня есть две любимые игры, в которые я могу залипать часами. Пифагория Это даже не игрушка, а сборник задач, в котором очень удобно реализован процесс решения. Игру разработали настоящие математики, в приложении создано более 370 геометрических задач. И от них просто не оторваться. Задачи в Пифагории построены на небольшом клетчатом поле. Где-то задачи очень простые, с ними справится и третьеклассник. А где-то надо провести серьезное исследование задачи прежде, чем её решить. Интересно ещё то, что условия построения не такие, как в школьном курсе. Мы привыкли, что строить можно циркулем и линейкой. В Пифагории же можно строить прямые линии через линии сетки и точки пересечений. Я взяла некоторые идеи для реализации наглядной геометрии в 5 классе. Очень рекомендую это приложение — бесплатное, без рекламы и с интуитивным управлением. 2048 Пятнашки — моя любимая игра детства. На квадратном поле 4×4 было 15 пронумерованных деталек и одна пустая клетка. Передвигая детальки нужно было выставить их в порядке возрастания. Иногда у меня получалось собрать головоломку, а иногда ну никак не получалось поменять две соседние детальки. Почему так происходит я узнала только во взрослом возрасте, когда изучала четность перестановок. Оказалось, что это я не глупая, а просто другая четность перестановки. 2048 похожа на пятнашки, но у нее есть дополнение — при соединении двух одинаковых деталей, они суммируются и превращаются в одну. А игра постоянно подкидывает вам новые детали, поэтому есть риск заполнить все поле детальками и проиграть. Вам нужно передвигая и соединяя детальки получить значение 2048, но чтобы поле при этом не заполнилось. В этой стратегии хорошо запоминаются степени двойки, поэтому их можно поучить как минимум до 2048, но мне удавалось собрать и 16384. Это не очень обучающая игра в отличие от Пифагории, но она позволяет отдохнуть и изучить поведение чисел при удвоении. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Я жуткая неряха и я этим не горжусь. Это мешает жизни. Я стараюсь не брать чужие вещи, потому что скорее всего испорчу или испачкаю их. И домашним моим не нравится жить в свинарнике. И когда я прихожу в новый кабинет вести занятие мне всегда страшно, что после меня рабочее место останется недостаточно чистым. Когда я работаю в школе это особенно мешает жизни, так как меня окружают очень аккуратные учительницы: они ходят в выглаженной одежде и с идеальными прическами, в кабинетах у них всегда порядок, а дети сидят с прямыми спинками, сложив руки на парте. Я же врываюсь в этот идеальный мир с вечно всклокоченной башкой, в цветастой одежде, с мятыми листочками и с взбалмошными орущими детьми. После занятий у меня всегда остается свинарник, который мы потом разгребаем вместе с ассистентами. Я думала о причинах этого. Я пыталась смириться с этим или работать над собой. Но недавно психолог, а затем психотерапевт диагностировали, что у меня синдром дефицита внимания, и все стало на свои места. Психологиня выделила у меня основные симптомы СДВ: ✅ сложности с самоорганизацией и соблюдением правил; ✅ проблемы с последовательностью выполнения дел и хроническая прокрастинация; ✅ нетерпимость к скуке, поиск сильных стимулов и склонность к зависимостям; ✅ склонность к бесконечному беспокойству, лабильность настроения и импульсивность. Иногда я думаю, что я просто нелепая, неловкая и безалаберная. Но оказывается, этому есть название. Я поняла, почему занимаюсь прокрастинацией. Почему я такая неряха. Почему могу отключиться в середине разговора. Почему постоянно беру билеты не на те даты. И почему постоянно все роняю и ломаю. Гиперактивность в моем случае проявляется тем, что моя левая нога живет своей жизнью и кажется могла бы генерировать электричество. А еще иногда я вскакиваю с дивана и начинаю танцевать с мопсом на руках, но быстро устаю и возвращаюсь на диван, прокрастинировать важные дела. Вот такой у меня недостаток, я постоянно на что-то отвлекаюсь и забываю доносить вещи до их мест назначения. Поэтому если Вы придете ко мне на живые занятия, то скорее всего, увидите по всюду разбросанные кубики Рубика, головоломки Сома, листочки с задачами и коробки от пиццы. Мои ассистентки героически стараются обуздать этот хаос, за что им большое спасибо. Думаю, из-за неряшливости я и не прижилась в школе, и у меня есть непроходящее чувство, что я раздражаю правильных школьных учителей до зубного скрежета. Я очень рада, что в Химках отношение к правилам и взбалмошным личностям чуть мягче, чем в серьезных московских школах. -
Реклама
-
Знаменатель - Олимпиадная математика
Метод математической индукции используется для доказательства утверждений, верных для всех натуральных чисел. Он работает по принципу домино. Сначала мы доказываем первое одно или несколько утверждений, то есть базу индукции. Затем мы делаем шаг индукции или переход — доказательство, что если наше утверждение верно для какого-то числа, то для следующего числа оно тоже будет верным. Между двумя натуральными числами никакие другие натуральные числа не прячутся, в отличие от действительных чисел, между которыми можно вместить бесконечность. Благодаря этому свойству натуральных чисел мы можем от одно числа перейти к другому и утверждение будет работать для всех натуральных чисел. Одна из задач, которая доступна даже младшим школьникам, это доказательство утверждения, что квадрат можно разделить на любое количество квадратов, начиная с 6. На 5 квадратов разделить нельзя, а начиная от 6 и до бесконечности можно. Для доказательства этого утверждения нам потребуется база индукции, то есть разбор нескольких тривиальных примеров. А затем переход, благодаря которому можно перейти к любому натуральному числу. Возьмем один квадрат. Разделим его на 4 равных квадрата, просто разрезав его по горизонтали и вертикали. Был 1, а стало 4, у нас добавилось 3 квадрата. А теперь одну из четвертинок еще раз разделим на 4 части, тогда всего квадратов станет 7. Это видно на картинке. Здесь стоит различать задачу общего подсчета квадратов (их тут 8, потому что мы считаем составные) и задачу на сколько кусочков мы разрезали (их 7). Разделением одного большого квадрата на 4 маленьких мы всегда можем добавить 3 квадрата. Как получить 6 квадратов? Возьмем квадрат 3 на 3, а затем вернуться на шаг назад и объединить 4 квадрата в 1. Так мы получим 6 квадратов. Заполучить 8 квадратов тоже несложно. Возьмем квадрат 4 на 4, и объединим в нем 9 квадратов в 1 большой, как на картинке. Мы умеем резать квадрат на 6, на 7 и на 8 частей, а еще умеем добавлять +3 к каждой позиции. Значит ли это, что теперь мы можем заполучить сколько угодно квадратов? Да. Добавление трех квадратов — это шаг индукции. Из 6 мы можем получить 9, 12, 15, 18 и так далее все числа, которые делятся на 3. Из 7 мы получить 10, 13, 16, 19 и все числа, которые при делении на 3 дает в остатке 1. Из 8 мы получаем 11, 14, 17 и все числа, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Таким образом, мы можем получить любое количество квадратов, хоть 2022. Это рассуждение подходит для младших школьников, старшим потребуется доказывать в общем виде и показать, как сделать разрезание для n квадратов и перейти к n+1 квадратам. Это строгое искусственное рассуждение, которое я не даю малышам при изучении метода математической индукции. Для изучения этого метода я рекомендую прочитать книгу Александра Васильевича Шаповалова "От хижин к дворцам", которая подробно описывает как сделать рассуждение от фундамента до здания любой высоты. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Бремя доказательства Все заявления в математике нужно подтверждать доказательствами, поэтому построение цепочки логических выводов — это основная работа математика. Успешное доказательство — это знак подлинности, который отличает признанную теорему от гипотезы. Тоже самое и в олимпиадной математике — нам нужно учиться строить доказательства, причем не только строгое, но и изящное. Что же такое доказательство? Это логично выстроенные высказывания, которые вытекают из уже известных идей. В математике используется несколько способов доказательств. Контрпример Если на математическое утверждение вы можете привести контрпример, то это и есть доказательств ложности утверждения. Например, при умножении любого числа на само себя результат будет четным. Если умножить 4 на 4, то будет 16. Логично, но если умножить 7 на 7, то получится 49. Вот он, контрпример. Точно также на логическое утверждение «все мопсы черные» мы можем предоставить обычного бежевого мопса в качестве контрпримера. Но если контрпримера нет, это не значит, что утверждение истинно. Нам потребуется другой метод. Прямое доказательство Утверждение «при умножении любого числа на само себя результат будет четным» мы не можем доказать логически, но мы можем скорректировать гипотезу и попробовать доказать, что «при умножении любого четного числа на само себя результат будет четным». Рассмотрим пример и умножим 4 на 4. Каждую четверку можно представить в виде произведения 2×2, получим 4×4=2×2×2×2. Вынесем за скобку двойку и получим 4×4=2×(2×2×2). Это утверждение легко переписать абстрактно и получить общую формулу n×n=2×(k×k×k). Доказательство от противного В этом методе мы считаем, что утверждение ложно, после чего логически приходим к противоречию. Итак, n — четное число, но мы утверждаем, что n×n в результате нечетное. Тогда в выражении n×n=n+n+…+n количество чисел n — нечетное, а значит и число n — нечетное. Мы пришли к противоречию. Метод математической индукции Это продвинутый метод доказательства, который используется в старших классах. Метафорически говоря, это метод домино: выстроив костяшки домино в ряд и толкнув первую, можно обрушить одну за другой их все. А чтобы все они повалились, нам необходимо лишь заставить упасть первую и убедиться, что каждая доминошка пинает следующую. Об этом методе я подробно расскажу в следующем посте. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Обязательно ли во всем искать пользу? Я долгое время росла с мыслью, что человек должен приносить пользу. Мне хотелось быть всем хорошей, помогать, быть доброй и комфортной. Я по жизни старалась не мешать и не отсвечивать, а еще всем помогать. Я писала одноклассникам сочинения и помогала на контрольных в ущерб себе. Чужое сочинение я писала, а на свое времени не хватало. С помощью психотерапии я поняла, что невозможно никому не мешать и быть всем хорошей. Я стараюсь никому не хамить и вести себя прилично, но теперь жестко отстаиваю свои границы и стараюсь не позволять садиться себе на шею. После нескольких печальных историй я даже собрала из бусинок браслет, на котором выложила слово "нет". Не отсвечивать и приносить пользу было моим девизом до недавнего времени. Когда я искала себе профессию я даже думала о том, чтобы пойти уборщицей, потому что это реальная и видимая польза. Но я осознала, что существую не для пользы, а для своей радости. Существуют занятия и профессии, которые приносят пользу людям, но олимпиадная математика не входит в их число. Я считаю, что она для удовольствия. Я почти не пишу о пользе олимпиадной математики. Хотя она несомненно развивает нейронные связи, учит думать определенным образом и прививает упорство в решении задач, я занимаюсь ней, потому что мне нравится. И обожаю учить детей, которым математика тоже нравится. Когда ребенка тащат на занятия ради пользы, а он упрямится и занимается из под палки, то и уровень пользы заметно снижается. Эти установки с пользой в итоге вызвали во мне протест. Когда я решила выучить иностранный язык, я выбрала английский, ведь это полезно, меня поймут практически в любой стране. Но английский не пошел, буквально несколько дней и я сдуваюсь. Я выбрала межславянский язык, который вряд ли принесет мне пользу, но мне просто нравится изучать общие корни славянских языков. Вместо полезной собаки, которая спасала бы людей, охраняла дом, помогала слепым или искала наркотики, я выбрала бесполезного, смешного и радостного мопса. Теперь я точно живу для своей радости и стараюсь не во вред другим.