Бремя доказательства Все заявления в математике нужно подтверждать доказательствами, поэтому построение цепочки логических выводов — это основная работа математика. Успешное доказательство — это знак подлинности, который отличает признанную теорему от гипотезы. Тоже самое и в олимпиадной математике — нам нужно учиться строить доказательства, причем не только строгое, но и изящное. Что же такое доказательство? Это логично выстроенные высказывания, которые вытекают из уже известных идей. В математике используется несколько способов доказательств. Контрпример Если на математическое утверждение вы можете привести контрпример, то это и есть доказательств ложности утверждения. Например, при умножении любого числа на само себя результат будет четным. Если умножить 4 на 4, то будет 16. Логично, но если умножить 7 на 7, то получится 49. Вот он, контрпример. Точно также на логическое утверждение «все мопсы черные» мы можем предоставить обычного бежевого мопса в качестве контрпримера. Но если контрпримера нет, это не значит, что утверждение истинно. Нам потребуется другой метод. Прямое доказательство Утверждение «при умножении любого числа на само себя результат будет четным» мы не можем доказать логически, но мы можем скорректировать гипотезу и попробовать доказать, что «при умножении любого четного числа на само себя результат будет четным». Рассмотрим пример и умножим 4 на 4. Каждую четверку можно представить в виде произведения 2×2, получим 4×4=2×2×2×2. Вынесем за скобку двойку и получим 4×4=2×(2×2×2). Это утверждение легко переписать абстрактно и получить общую формулу n×n=2×(k×k×k). Доказательство от противного В этом методе мы считаем, что утверждение ложно, после чего логически приходим к противоречию. Итак, n — четное число, но мы утверждаем, что n×n в результате нечетное. Тогда в выражении n×n=n+n+…+n количество чисел n — нечетное, а значит и число n — нечетное. Мы пришли к противоречию. Метод математической индукции Это продвинутый метод доказательства, который используется в старших классах. Метафорически говоря, это метод домино: выстроив костяшки домино в ряд и толкнув первую, можно обрушить одну за другой их все. А чтобы все они повалились, нам необходимо лишь заставить упасть первую и убедиться, что каждая доминошка пинает следующую. Об этом методе я подробно расскажу в следующем посте.