Знаменатель - Олимпиадная математика. Страница 8
1203
@znamenatelclub
Математический кружок Знаменатель - Олимпиадная математика для детей 9-12 лет. Онлайн-курсы, интерактивы, рабочие тетради. Наш сайт https://znamenatelclub.ru/
-
Знаменатель - Олимпиадная математика
Есть одна простая идея, которая почему-то не всегда приходит в голову самостоятельно. В школе учат неизвестное брать за икс, из него выражать следующее и решать задачу. А простая идея в том, что неизвестное можно взять не за один икс, а за сколько удобно. Другими словами неизвестное можно разделить на удобное количество частей. ⚡️Пример 1. Ася от дома до школы идет 12 минут, Вася от дома до школы идет 16 минут. Вася вышел на минуту раньше Аси. Через сколько минут после своего выхода Ася догонит Васю? Нельзя предполагать, что путь от дома до школы 12 км или 16 км, потому что это предположение, которого нет в условии. Но можно разделить весь путь на такое количество кусочков, которое нам удобно. Здесь стоит взять число, которое нацело делится на 12 и на 16. Если разделим путь на 48 частей, то дальше можно вычислить скорость каждого персонажа: частей в минуту. Потому что скорость можно мерить в единицах расстояния на единицу времени, а выбирать эти единицы мы вольны сами. 📌Пример 2. Задачи на совместную работу. Если двое персонажей едят пирог, то удобно этот пирог разделить на столько частей, чтобы каждый съел целое количество частей за единицу времени. 🚌Пример 3. У нас была задача про Асю и фитнес-трекер на лапке. Фитнес-трекер разряжается за 6 часов активной ходьбы лапками или за 210 часов спокойного сидения. Ася половину времени ехала на автобусе, а половину времени шла лапками, к концу прогулки трекер разрядился. Сколько времени длилась вся прогулка? Заметим, что 210 ровно в 35 раз больше чем 6. Если мы акумулятор трекера мысленно разделим на 36 частей (35 ушло на хождение лапками и 1 ушло на автобус), то задачу будет решить намного проще, чем если его брать за х. Иногда идея разделить целое на нужное количество частей очень удобна. Взрослые умеют обходить эти сложности дробями, а вот детям на олимпиаде идея может помочь. Помню, когда мне в детстве друг показал решение со словами "две части кидаем сюда, три сюда и всё получается" я поразилась простоте мысли. С тех пор она мне много раз помогала. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Бумажные снежинки — это просто отличный способ зимнего развлечения и для взрослых, и для детей. Тут вам и геометрия, и мелкая моторика, и готовое украшение в результате. Так сложилось, что удобнее вырезать восьмиконечные снежинки. Берём квадратик бумаги, складываем по диагонали пополам, потом снова пополам и снова пополам. И вот в таком треугольничке уже можно вырезать снежинки. Главное запомнить, где серединка, чтобы снежинка была симметричной. Однако в природе снежинки шестиугольные, и это связано с молекулой воды. На картинке вы видите, как они соединяются. Получается 6 углов, а не 8. Давайте попробуем вырезать шестиугольную снежинку. Кажется, что это сложно, потому что поделить на 3 части сложнее, чем пополам. Но на схеме вы видите, что в этом нет ничего сложного. Ну а дальше можно вырезать и наслаждаться симметрией аутентичной снежинки. 
-
Знаменатель - Олимпиадная математика
24 и 25 декабря прошли последние онлайн-занятия в 2022 году. Мы уходим на каникулы до 14 января, ведь наши занятия выпадают на Новый год и Рождество. Следующие онлайн-занятия пройдут 14 и 15 января, но не бойтесь остаться без олимпиадной математики на время зимних каникул. Приглашаю вас принять участие в интерактивном курсе Каникулятор. Я подготовила 10 олимпиадных разнобоев, чтобы любители математики не заскучали во время каникул. Каждый будний день в 8 утра МСК будет выходить интерактивная презентация: 8-10 задачек, без теории и без заморочек. Каникулятор существует в в четырех вариантах:⠀ ☘️Каникулятор 0-1 — для дошкольников и первоклассников, незнакомых с олимпиадной математикой; 🦋Каникулятор 1-2 — для учеников 1-2 классов; 🌼Каникулятор 3-4 — для учеников 3-4 классов; ❤️Каникулятор 5 — для учеников 5 классов.⠀ Как и во всех моих интерактивных курсах, у вас будет три попытки, чтобы дать правильный ответ, а в случае ошибок программа даст подсказки и наводки. Стоимость курса 500 рублей. КУПИТЬ КУРС -
Реклама
-
Знаменатель - Олимпиадная математика
#Листочки с занятий 24-25 декабря -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Наша рубрика #веселыезадачи У Аси на лапке есть фитнес-трекер, заряда аккумулятора которого хватает на 6 часов гуляний лапками или 210 часов ожидания. Ася решила уехать в собачий санаторий на автобусе, когда она вышла в путь, трекер был полностью заряжен, а когда приехала в санаторий, он полностью разрядился. Сколько времени занял путь до санатория, если половину времени она шла лапками, а когда ехала на автобусе, то лапками не шевелила. Нам хватает аккумулятора либо на 210 часов ожидания, либо на 6 часов активной деятельности. На активную деятельность тратится в 35 раз больше энергии, потому что 210 часов больше шести в 35 раз. Так как Ася потратила одинаковое количество времени на ходьбу и езду на автобусе, то удобно поделить заряд акумулятора на 36 частей: 1 часть она потратила, пока ехала на автобусе, и 35 частей потратила, пока шла лапками. Если бы Ася сидела дома и не шевелила лапками, то 36 частей аккумулятора хватает на 210 часов ожидания. Перейдем в минуты, так как 210 на 36 не делится. 12600 минут делим на 36 частей. Значит в состоянии покоя 1 часть аккумулятора тратится за 350 минут. А по условию Ася шла и ехала одинаковое количество времени, значит она потратила 700 минут и добралась до санатория за 11 часов и 40 минут. 
-
Знаменатель - Олимпиадная математика
Можно ли? Если задача начинается со слов "можно ли", то в решении требуется что-то доказать. Доказательства в школьной программе встречаются только с 7 класса, а в олимпиадной — уже с третьего. Так что учимся доказывать, ведь на олимпиадах ответ «Да» или «Нет» не принимается. Рассмотрим задачу. На парковке стоит 100 машин. Парковка огорожена забором и есть выезд через ворота. Вопрос: можно ли выехать с парковки? Что делать? Давайте возьмем одну машину и попробуем поехать. Увы, в этой машине не оказалось бензина, но у нас осталось 99 других машин, вдруг получится? У второй машины нет колес, у третьей отвалился руль, у четвертой нет двигателя, пятая просто не заводится, но у нас осталось еще 95 машин, так что вероятность выехать есть. То, что я сейчас делаю, называется разумный перебор. Когда мы переберем все 100 машин и не сможем выехать, то сможем ответить на вопрос задачи четко: нет, потому что все машины не ездят. Проверять каждую машину сложно и честно говоря не нужно, ведь может оказаться, что выезд заблокирован для всех машин сразу. Например, выезд с парковки закрыт огромным бетонным блоком. А бетонный блок вместо ворот — это мешающее условие. Если мы скажем, что выехать с парковки нельзя, потому что ворота закрыты, то укажем на мешающее условие. В олимпиадных задачах в роли мешающих условий выступают: 🦋четность — вы сложили все четные элементы, а результат получился нечетный; 🚩делимость — вы сложили все элементы, которые делятся на 3, а результат на 3 не делится; 🔰инвариант — например, шахматный слон ходит только по одному цвету. А если ответ на задачу «Да»? Простое перечисление отсутствия мешающих условий — это не доказательство, так как всегда может вылезти еще одно мешающее условие. Ворота на парковке открыты, но это не значит, что выехать можно, вдруг все машины сломаны? Или на планете не осталось бензина? Нам придется взять машину и выехать из парковки, то есть предъявить пример. Если у вас в задаче спрашивают, можно ли что-то сделать, то решается она двумя путями: 🤷♂️определяете и записываете мешающее условие, 💃или предъявляете пример того, как можно выехать с парковки. В таких задачах часто опускается фраза "приведите пример", но это всегда подразумевается. Один мой ученик пытался подать апелляцию, заявив, что в условии задачи на «можно ли» не требовалось указывать пример и достаточно ответа «Да". Недостаточно, не делайте так. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Числобол — головоломка, простая и по условию, и по правилам, но очень увлекательная. У вас есть табличка 4 на 4, 5 на 5 или 6 на 6. В клетках таблички стоят крестики, кружочки или цифры. 🦋Что нужно сделать? Если в клетках таблицы стоит крестик, то в клетку мы ничего не ставим. Если в клетке стоит пустой кружочек, мы должны поставить туда цифру от 1 до 3. Если стоит просто цифра, то мы можем обвести ее в кружочек. Когда вы заполните всю таблицу, то в каждой клетке будет либо цифра в кружочке, либо крестик. При этом должны выполняться правила как в судоку: в каждой строке и столбце все цифры разные. Если у вас таблица 5 на 5, то в каждом столбце и строке у вас будет по 3 цифры и по 2 крестика. Например, если у вас собрались 3 цифры в столбце, то вы можете смело ставить крестики в другие клетки столбца. 🌼Как лучше играть? Я советую начинать с того, чтобы обвести все цифры кружочками, а дальше разбираться, где могут стоять цифры, а где нет. То есть сначала заполнить таблицу кружочками и крестиками, и только потом разбираться какие цифры могут стоять в кружочках. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Как правильно хвалить ребенка? Все мы знаем фразу, что в успехе лежит 1% таланта и 99% труда. Авторка книги "Гибкое сознание" Кэрол Дуэк утверждает, что интеллект и талант не гарантируют успех и часто наоборот стопорят развитие. Постоянная хвальба и убеждение ребенка в том, что он очень умный, ставит всего его достижения под угрозу. Ведь такая похвала не дает ребенку права на ошибку. А когда тебе запрещают ошибаться любое обучение останавливается. Когда ребенка хвалят за ум и талант, в нем воспитывается установка на данность: есть талант, который нельзя ставить под угрозу серьезными вызовами. Ведь ошибка вызывает панику и полностью демотивирует. Но оказывается, что есть еще и установка на рост. Люди с установкой на рост верят, что все качества можно развить, планомерно работая над собой, а вот изначальный уровень интеллекта и таланта — это только стартовая точка. 〽️Данность и рост Люди с установкой на рост любят учиться чему-то новому и не боятся ошибок. Люди с установкой на данность избегают развивать свой талант, ведь если браться за более сложные задачи, то возрастает вероятность ошибиться. А ошибаться люди с такой установкой очень не любят. Это прям про меня. Раньше я очень боялась ошибаться, и только годы психотерапии позволили мне иногда косячить без дикой паники. Нельзя сесть за руль и сразу поехать, нельзя без ошибок научиться кодить на Питоне, даже олимпиадные задачи часто не решаются с первого раза. А мне запретили ошибаться, поэтому научиться чему-то новому для меня было мучительно. Я всю жизнь была убеждена, что если есть талант, то получится сразу и идеально. А если нет, то и пытаться заниматься этим не стоит. 🔰Как это связано с детьми и математикой? Мы любим хвалить детей за успехи, но хвалим не усилия, интерес и мотивацию учиться, а ум или талант ребенка. Мы взращиваем в ребенке уверенность, что он умный и любую задачу может решить с прочтения. Когда такой ребенок сталкивается со сложной задачей, у него возникают сомнения в своем таланте и уме, возникает страх ошибки. Никому не хочется чувствовать себя дураком, поэтому ребята предпочитают обходить сложные задачи. А без сложных задач нет роста. Выход здесь простой. Хвалить не за ум, а за старание и приложенные усилия. И не гнобить за ошибки. Что говорить о системе образования, в которой запрещены исправления и корректоры? Пишите карандашом, ошибайтесь, стирайте ластиком и находите верное решение. Тогда и учиться будет не страшно. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
#Листочки с занятий 17-18 декабря -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Готов мой мультфильм с 11 развертками куба, скачивайте и пользуйтесь на занятиях. Ниже картинка с развертками, их можно распечатать, вырезать и в складывать кубики. Если у вас есть идеи для новых математических мультфильмов, пишите в комментариях :) Скачать видео с развертками -
Знаменатель - Олимпиадная математика
11 разверток куба для вырезания 
-
Знаменатель - Олимпиадная математика
Мега крестики-нолики У меня есть несколько занятий про игры на бумаге. Одной из моих любимых игр стали мега крестики-нолики. У классической игры есть множество разных вариантов, есть даже спортивные крестики-нолики, по которым проводятся соревнования. А я вам сейчас покажу мега-вариант. 🧩Правила Представьте обычное поле для игры 3 на 3. А в каждую клетку этого поля вписано еще одно поле 3 на 3. Правила следующие: первым ходит крестик и выбирает любую клетку любого поля. А дальше каждым своим ходом игрок задает своему оппоненту поле для хода. Например, крестик выбрал в среднем поле левый верхний угол. Теперь нолик должен обязательно сходить в левое верхнее поле, но выбрать клетку он может любую. Дальше своим ходом нолик задает поле для следующего хода крестика. Если нолик выберет центральную клетку, то крестик будет обязан делать ход в центральном поле. ⚡️Условие победы Когда внутри маленького поля кто-то из игроков побеждает, собрав свои символы в столбик, в ряд или по диагонали, то победитель ставит большой свой знак. В этом поле больше победить нельзя, но в него можно попасть по направлению соперника. Кто набирает 3 больших знака в ряд, в столбик или диагональ, тот и победил. 🦋Особенности Нас могут отправить в поле, в котором кто-то уже победил. Если там есть свободные клетки, то нужно обязательно сделать ход. Если свободных клеток нет, то ход можно сделать в любом поле. Игра потрясающа тем, что в отличие от классической версии в ней нет очевидной стратегии, благодаря которой при правильной игре матч всегда сводится к ничьей. Здесь для победы нужно обдумывать каждый ход. ☘️Для кого подойдет эта игра? Мега крестики-нолики хорошо заходят даже первоклассникам, которые хорошо понимают идеи масштабирования и координат. Верхнего ограничения по возрасту нет :) -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Последние несколько занятий мы с 3 классом обсуждаем кубики. Задачи с кубиками часто встречаются на олимпиадах и ВПР. А еще они прекрасно развивают пространственное мышление, ведь кубики объемные, а задачи мы решаем на бумаге с использованием изометрии. Например, кубик 3 на 3 мы распиливаем по этажам и смотрим, что происходит на каждом этаже. А если нам нужно узнать, что происходит на поверхности куба, то к нам на помощь приходят развертки. У куба есть 6 граней, то есть стенок. Но не каждая шестиклеточная фигура будет разверткой куба. Всего разверток бывает 11 штук, и в зависимости от задачи мы выбираем конкретную развертку. Мысленно свернуть плоскую картинку в кубик довольно сложно, поэтому лучше всего вырезать бумажную развертку, а потом сложить ее. А еще полезно просто посмотреть на процесс. Я гуглила гифки как складывать кубик из разных разверток, но нашла совсем немного. Поэтому решила сделать их сама. Сначала начала программировать на Питоне, но это оказалась очень трудоемкая работа. Но тут я открыла для себя еще одно приложение для покадровой рисовки мультиков — Flipa Clip. Я совместила приятное с полезным и начала рисовать мультик про развертки куба. На данный момент готовы 4 развертки из 11. Когда мультфильм будет полностью готов, его можно будет скачивать и показывать на занятиях. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Наша рубрика #веселыезадачи. Четыре собаки облаивали снеговика. Все вместе они гавкнули 306 раз. Ася гавкнула на один раз больше, чем Жорик, Жорик на один раз больше, чем Мэри, а Мэри на один раз больше, чем Боня. Сколько раз гавкнула на снеговика Ася? Что бы все собаки гавкнули одинаково надо убрать лишние гавки: у Аси убрать 3 гавка, у Жорика — 2, а у Мэри — 1. 300 − 3 − 2 − 1=300 300 ÷ 4=75 гавкнула каждая собака. Тогда Ася гавкнула 75 + 3 = 78 раз. 
-
Знаменатель - Олимпиадная математика
Разберем вчерашнюю задачу. В условии точек должно быть 9 и нам нужно много линий по 3 точки. Первое, что приходит в голову — это расположить точки как в квадрате 3 на 3. Но в такой картинке 3 строчки, 3 столбика и 2 диагонали, то есть 8 линий. А в условии нужно 10. Давайте рассмотрим ее подробнее. Выберем такие пары точек, которые могут стать заготовкой для нового ряда. Нам нужно выбрать две точки, которые можно соединить, но чтобы между ними не было третьей точки. Ведь третью нам как раз и нужно добавить. Посмотрите на вторую точку в среднем ряду и на самую левую нижнюю. Между ними нет третьей точки, но мы можем её добавить. Посмотрите на среднюю нижнюю точку и левую верхнюю. Между ними тоже можно поставить точку так, чтобы получился ряд. Возьмем в среднем ряду самую левую точку и сдвинем ее ближе к середине, чтобы она легла на пересечении этих двух линий. В итоге вместо одного вертикального ряда у нас получилось 2 ряда по 3 точки. Тоже самое можно проделать с правой точкой среднего ряда и получим симметричное решение. Это не единственное решение, и вы можете придумать другой вариант. Но идея останется та же самая: выбрать 2 точки, которые можно продлить до нового ряда. -
Реклама
-
Знаменатель - Олимпиадная математика
Еще один мой любимый листочек — это задачи про линии и перекрестки. Впервые я с ними познакомилась в книге Спивака "1001 задача", и они мне так понравились, что я обязательно привожу их в матлагеря и выдаю на своих кружках детям от 1 до 7 класса. Давайте посмотрим. Расставьте 6 точек так, чтобы получилось 4 линии и на каждой по 3 точки. В таких задачах линии обычно прямые и они могут пересекаться под любыми углами. Иногда вместо линий в задачах вы встретите слово "ряд", например: Расставьте 6 стульев в 4 ряда так, чтобы в каждом ряду было по 3 стула. Кажется, что это нерешаемая задача, но у нас есть подсказка. Бывает ли такое, что точка лежит сразу на 2 линиях? А стул в 2 рядах сразу? Может быть дом может стоять сразу на 2 улицах? Конечно бывает, если это происходит в перекрестке. А значит мы можем перекрещивать линии и ряды, чтобы экономить точки. 🍉Алгоритм решения В этих задачах нет четкого алгоритма, мы пробуем разные идеи и смотрим, какая из них сработает. Идея первая: перекрестки. Если мы ставим точку в пересечении двух линий, то мы эту точку экономим. Идея вторая: общее положение прямых. Вы рисуете прямую, а каждая следующая пересекает уже проведенные линии в новых точках. У нас нет параллельных линий и пучков, в которых кучкуется несколько линий. Сколько будет точек пересечения при разном количестве прямых общего положения? Если линия одна, то точек пересечения нет. Если линии две, то точка одна. Если линии 3, то мы делаем треугольник в перекрестках и точек пересечения тоже 3. А если линии 4, то мы в треугольник дорисовываем еще одну линию, которая пересекает их все в новых точках. И если мы в такую картинку поставим по точке в каждый перекресток, то решим нашу задачу. Решение на картинке ниже. ☘️Еще задачи Можно ли в коробку положить две монеты так, чтобы у каждой стенки было по одной монетке? Можно, если их положить в противоположные углы. Можно ли в коробку положить 4 монеты так, чтобы у каждой стенки было по 2 монетки. Можно, если их сложить сложить в каждый угол. Можно ли в коробке разложить 12 монет так, чтобы у каждой стенки было по 6 монет? Кажется, что нельзя, но мы сложим их стопками по 6 монет в 2 противоположных угла. 🦋Какие вопросы себе задать? О чем думать, чтобы решить такие задачи? Прикидываем, сколько точек надо сэкономить и сколько перекрестков. Если не работают прямые общего положения, то в точке пересекается несколько линий. ❗️Попробуйте решить сами Расставьте 9 точек так, чтобы получилось 10 линий и на каждой по 3 точки. Завтра я выложу ответ и решение этой задачи. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
10 ключевых тем для учеников 3-4 классов, изучающих олимпиадную математику Если вам нравятся мои интерактивные курсы, то напоминаю, что у меня есть продвинутый курс олимпиадной математики. За 14 лет работы в кружках я определила наиболее популярные темы, которые встречаются на вступительных работах в школы/кружки и на математических олимпиадах: 🎲Комбинаторика 🎈Круги Эйлера и логические рассуждения 🐈Сумма и разность, части, головы и ноги, возраст ⚡️Скорость и движение 💥Совместная работа и производительность ⚜️Уравнения в целых числах, они же переливания и прыжки по прямой 🐰Принцип Дирихле, задачи на темы "с закрытыми глазами" и доказательство от противного ☘️Инварианты: четность, делимость, общая сумма, остатки 🦋Площади, периметры, широкие дорожки 🌼Фигуры, многоугольники, разрезания, метод вентилятора Если ребенок хорошо ориентируется в этим темах и умеет определять тему конкретной задачи, то вероятность успеха значительно повышается. Поэтому я записала интерактивный курс, в котором собрала все ключевые идеи олимпиадной математики за 3-4 класс. В МОПС, он же Математика Олимпиадная Простыми Словами, я вложила максимум знаний, чтобы каждое занятие стало эквивалентно 3 часам работы с репетитором. Для этого я каждую тему разбила на 3-4 аспекта, а на каждый аспект записала видеотеорию и подобрала по 8-12 задач. Как и у всех моих интерактивных курсов, главная фишка МОПСа — это возможность моментальной проверки ответа. У ребенка есть три попытки, чтобы ввести верный ответ на задачу и сразу же узнать правильность решения. Автоматическая проверка организована таким образом, что при неверном ответе всплывает текстовая подсказка. Я прописала подсказки в виде вопросов, которые обычно задаю ребятам на очном кружке, направляя их к верному решению. После трех попыток программа выдает верный ответ и ход рассуждения. Стоимость курса — 3 000 рублей за 10 полноценных занятий. Доступ к курсу остается у вас навсегда. Занятие Комбинаторика — бесплатное, попробуйте сначала его, чтобы понять, подходит вам такой формат или нет. Несмотря на то, что это занятие пробное, на его проработку у вас уйдет несколько часов. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Раньше я не любила приложения для убийства времени, потому что даже развлечения должны быть полезными. Правда такое убеждение не мешало мне часами скроллить ленты соцсетей, но я вязала и рукодельничала в перерывах, так что чувствовала себя очень полезной. Но недавно я решила изучить мир игровых приложений для смартфона. Одно из них мне настолько понравилось, что я готова его рекомендовать. Doodle Master на самом деле не игра, а рисовалка. Вы выбираете количество лучиков и цвет, и когда вы ведете линию, то программа начинает ее закручивать вентилятором. И вы вместо одной линии получаете заданное количество закрученных линий. Это красивое приложение с прекрасными кисточками и яркими цветами. Но в нем есть и полезная польза. В этом приложении может быть удобно изучать метод вентилятора. Вы закручиваете линии и изучаете их поведение на плоскости. Мой листочек про метод вентилятора прекрасно решать в этом приложении. Вам нужно будет только выбрать количество лучей и осей симметрии. Поэтому я рекомендую Doodle Master любителям рисовать, матшкольникам и тем, кому хочется приятно провести время. Меня успокаивают яркие цвета и геометрические фигуры, а тут как раз прекрасное сочетание. Вы можете сохранить процесс рисования в виде видео. Я ускорила его в 8 раз для удобства просмотра, так как мои тестовые художества длились дольше 10 минут.