Знаменатель - Олимпиадная математика. Страница 6
1203
@znamenatelclub
Математический кружок Знаменатель - Олимпиадная математика для детей 9-12 лет. Онлайн-курсы, интерактивы, рабочие тетради. Наш сайт https://znamenatelclub.ru/
-
Знаменатель - Олимпиадная математика
Инварианты — это самая потрясающая вещь в олимпиадной математике Это было в летней матшколе под Костромой, и знакомство с инвариантами стало для меня 10-летней целым откровением. Мне попалась сложная задача На волшебном дереве растут апельсины и бананы, срываешь 2 разных фрукта — вырастает банан, срываешь 2 одинаковых — вырастает апельсин, какой фрукт будет в конце? Откуда мне было знать, что будет в конце? Я думала, что нужно перебрать частные случаи, начала перебирать их, а ответ один и тот же. Я задумалась, почему так, и меня осенило. Ведь здесь не меняется четность одного из фруктов. И простая идея о том, что нечто может не меняться, решает всю задачу. Для меня это было удивительным открытием. 🌼Четность и делимость Инвариант — это то, что не меняется в задаче. В самом простом виде инвариантом выступает четность. А еще бывает делимость. Например, задача: Оксана купила 27 пакетиков корма для Аси, 3 пачки антидепрессантов и 15 чизбургеров. Могла ли она потратить 5 000 рублей? Не могла, потому что все ее покупки делятся на 3, а 5 000 рублей на 3 не делится. Нам при этом не нужно выяснять, сколько стоила каждая позиция и сошлась ли сумма чека. 🔰Раскраски и последние цифры Раскраска — еще один инвариант. Такая раскраска используется в задачах, где ходят кони по шахматной доске или клопы прыгают по клеткам. Здесь нам нужно смотреть, как ведут себя цвета клеток. Если одна раскраска не сработала, то пробуем другую. Еще в качестве инвариантов выступают остатки или последняя цифра числа. Например, может ли число 35198437 быть квадратом натурального числа? Не может, потому что квадраты натуральных никогда не заканчиваются на 7. ⚡️Инварианты в других науках Но инварианты существуют не только в олимпиадной математике. Есть серьезные инварианты во взрослой математике, например, определитель, след, собственные вектора и собственные значения матрицы инвариантны относительно выбора базиса. А еще инварианты есть и в лингвистике, фольклористке, музыке, программировании и даже истории. Вот так, обожаю инварианты. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Продолжаем рубрику про малышей и математику🧐 Что ещё можно делать, когда чтение и счёт вызывают сложности, а решать задачи хочется? Эта идея немного похожа на проекции — перенос реального объекта на картинку. Задание развивает абстрактное мышление. Как нарисовать то, чего не видно? В задании невидимые линии — пунктирные, видимые линии — сплошные. Нужно разобраться, какая фигура лежит сверху? Та, у которой контур сплошной. Какая фигура лежит под ней? Та, у которой оставшийся контур сплошной. И так далее. Можно выполнить обратную задачу: взять вырезанные цветные фигуры, сложить их на столе в каком-то порядке, а затем нарисовать: видимые линии сплошными, а невидимые — пунктирными. Педагогам — задания генерируются довольно просто. Рисуете в графическом редакторе сколько-то фигур, наложенных друг на друга, а затем стираем до пунктиров те линии, которые не видимы. Такое задание дальше можно продолжить веревочками. Нарисован узел — сплошной линией отмечены видимые части веревки, пунктирной — невидимые. Завяжется ли узел? Можно по веревочкам рисовать картинку, можно по картинке складывать веревочку. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Я — шопоголик, но в Грузии им быть сложно🇬🇪 Раньше я обожала после тяжелого рабочего дня залечь на диван и начать шопиться на Вайлдберриз, Озоне или Алиэкспрессе. Для меня это было способом расслабиться и наградить себя после трудовых успехов. Я покупала всякую чушь для собаки, странные бьюти-штуки, спортинвентарь, плюшевые игрушки и прочие вещи. В Батуми такого нет. Если в Тбилиси еще можно пошопиться на сайте mymarket, то здесь такого нет. В Батуми есть сетевые супермаркеты Carrefour, Spar и Ori Nabiji, но их мало, буквально по 2-3 штуки на весь город. Поэтому если вам нужен хороший собачий корм, вы идете в зоомагазин, если свежий хлеб — в пекарню, если вкусный кофе — в кофейную лавку, а если все сразу — то на рынок. Я привыкла к тому, что в Москве нет рынков и развита интернет-коммерция, а супермаркеты есть на любой вкус и на каждом углу. Поэтому Грузия для меня удивительна. Я пока еще не ходила на масштабные рынки Батуми: огромный вещевой рынок Хопа и продуктовый Бони, но обязательно пойду. Придется научиться торговаться, хотя я очень не люблю это делать. При этом здесь есть доставки Glovo и Wolt, которая может привезти вам и сэндвичи из Сабвея, и лекарства из аптеки, и новенький телевизор из магазина электроники. Этими штуками мы активно пользуемся, но они скорее похожи на Самокат, чем на Вайлдберриз. Одно время я жила в Украине, и она в этом плане находится посередине: там точно так же за хлебом я ходила в пекарню, а за молочкой — в молочный ларек, но при этом всегда есть рядом сетевые супермаркеты и чудесный сайт Rozetka с не менее прекрасной Новой Поштой, которая доставит любые покупки в течение пары дней. Надеюсь, что скоро я вернусь в мирную Украину. Ну а пока живем в Грузии, стараемся социализироваться и обязательно гуляем у моря. -
Реклама
-
Знаменатель - Олимпиадная математика
#Листочки с занятий 18-19 февраля -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Метод вентилятора🌸 Однажды при проверке детских работ я заметила, что разные задачи решаются поворотом или закручиваются как лопасть вентилятора. Одна, вторая, третья задачи из самых разных тем привлекли мое внимание и я начала их коллекционировать. Чем больше я проверяла олимпиад и читала книг, тем больше я убеждалась в том, что поворот — это универсальное решение. На протяжении 10 лет я методично собирала подобные задачи, а метод их решения назвала метод вентилятора. Конечно, он имеет ограниченное применение и используется для решения в основном геометрических задач. Но эти задачи могут относиться к разным областям: физике, биологии, химии, архитектуре, программированию и так далее. На своих занятиях я выдаю детям упражнения для того, чтобы мозг привыкал вращать решение. Мои ученики знают, насколько я люблю метод поворота и уже сами при подходе к любой геометрической задаче начинают вращать решение и закручивать его вентилятором. И часто это срабатывает. Весь свой опыт по методу вентилятора я собрала в электронной методической тетради. В ней я показываю идею поворота и учу ребят поворачивать картинки. А это непросто, особенно для младших школьников, у которых еще нет подобного опыта. Также в тетради собран цикл задач из разных областей олимпиадной математики, которые можно решить поворотом. В тетрадке есть не только задачи, но и разборы. Сложность задач постепенно повышается, поэтому она подойдет ребятам со 2 по 6 класс. Прорешав такую тетрадку ребенок научится вращать решение и освоит один из универсальных методов решения геометрических задач. А это первый шаг на пути к волшебной математике. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Ищу напарницу или напарника для занятий волшебной математикой🌼 Я уже писала, что занимаюсь с Игорем Борисовичем, учусь думать и решать задачи универсальными идеями. Но у меня есть проблема. В горах плохой интернет, периодически зависает моё видео. Этот вопрос я стараюсь решать, но местный админ говорит, что вряд ли будет лучше. Хотя у меня есть ещё пара опций. Игорь Борисович наши уроки публикует в ютуб-канале, поэтому ему нужен более надежный собеседник: чтобы если вдруг мой канал прервется, он смог не прерывать занятие, а продолжить рассказывать интересное. 🦋Кого я ищу? Вообще волшебная математика подходит для любого возраста, от 6 до бесконечности лет, но мне было бы комфортно заниматься в паре со взрослым. Математическое образование не обязательное, оно скорее мешает, а Ваша профессия не важна. ☘️Что от Вас требуется? Компьютер с хорошим интернетом и камерой, бумага в клетку, телефон с камерой и WhatsApp. ⚡️Что Вы получите? Вы легальным способом научитесь расширять и убирать рамки своего мышления, получите универсальные идеи для решения жизненных и математический задач, общение с умным человекам (Игорем Борисовичем) и возможность понаблюдать как учусь и туплю я (Оксана). Иногда будет очень сложно (потому что менять себя — самое сложное), но после каждого занятия Вы будете выходить с порцией пищи для размышления. 📌Предупреждение Это не просто развлечение. У Игоря Борисовича есть клуб для всех желающих, там можно присоединяться или нет, можно отмолчаться или сидеть с выключенной камерой и телефоном. На наших же занятия нужно приходить вовремя, включать камеру и быть в потоке. Занятия проходят по субботам и воскресеньям утром по полтора часа. Если Вы хотите учиться вместе со мной, готовы к трудностям и радостям, то напишите мне в личку +79215738983 или в телеграм @ok_zn. Занятие для Вас бесплатные по деньгам, но должны окупиться ответственным отношением. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Больше всего при переезде в Грузию мне хотелось забрать свои клубочки с пряжей и дорогую моему сердцу эспрессо-кофеварку. Я собрала весь свой скарб в три коробки и отправила их почтой России. За такие посылки нам пришлось отвалить неприличную сумму денег, но как оказалось, это было только полбеды. Посылки очень быстро добрались до места назначения в Батуми. Мы пришли их забирать и оказалось, что товары, которые по декларации стоят больше, чем 300 лари, подлежат обязательной растаможке. И стоимость этой растаможки аж 18% от стоимости товаров, а я честно написала в декларации примерную цену всех вещей. Ну и оплатить этот сбор просто так нельзя, сначала нужно получить специальный налоговый номер в Грузии, и только потом все оплатить через кассу в банке. Мы убили на это 3 часа времени и помотали достаточно нервов местным работникам почты. Но в итоге забрали свои посылки домой. Сначала мы расстроились, что коробки влетели нам в копеечку. Думали, что было бы дешевле купить эту кофеварку в Грузии. Радовало только то, что теперь мы снова сможем пить эспрессо по утрам. Но выяснилось, что в Грузии зерновой кофе очень дорогой, раза в 2-3 дороже, чем в Москве. И оказалось, что кофеварки тут тоже очень дорогие. Так что наша кофеварка отбила всю стоимость наших посылок. Но на будущее учтите, что за дорогие посылки придется платить еще больше. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
#Листочки с занятий 11-12 февраля -
Знаменатель - Олимпиадная математика
-
Знаменатель - Олимпиадная математика
Сейчас тяжелые времена, и такое разрушительно землетрясение в Турции мы переживали очень эмоционально. За последний год у меня постоянно было чувство наступления апокалипсиса, а теперь еще и сама Земля обернулась против людей. В Батуми толчки турецкого землетрясения тоже почувствовали, но в основном жители небоскребов. Повторный дневной толчок мы ощутили только как головокружение. Но вчера вечером в Грузии было небольшое землетрясение в 4,8 балла. Я лежала на диване и ничего не почувствовала, Ася лежала рядом и даже не проснулась. А вот моя подруга, которая сидела рядом на кресле и работала за ноутбуком, начала испуганно спрашивать, что происходит. Её стол и кресло начали вибрировать. Тогда я тоже увидела, что вода в стакане на столе плещется в разные стороны. Мы проверили гугл и поняли, что пережили первое в своей жизни землетрясение. Было страшно, но кажется, что местные к этому привыкли, ведь в горах это частое явление. Такие дела. 
-
Знаменатель - Олимпиадная математика
А чем мне нравится учебник Петерсон?😐 Несмотря на обильную критику со стороны учителей, родителей, учеников и даже государства, учебник Людмилы Георгиевны мне очень нравится. В 2014 году учебники Людмилы Петерсон были исключены из официальной школьной программы. И не потому что учебники методические плохие, а из-за того, что героями задач были Винни-Пух, Чиполино, Карлсон и три поросенка. Эксперты посчитали, что такие герои непатриотичны и подрывают любовь к Родине. Интересно, что бы с этим учебником сделали в 2023 году? Добавили в качестве героев вагнеровцев и СВОшку? Несмотря на отсутствие патриотизма, учебник вернули в школьную программу в 2018 году. И сделали это как раз по просьбам родителей. Учебники Людмилы Георгиевны мне особенно близки благодаря методу, в котором до решения школьник должен догадаться самостоятельно, прямо как на олимпиадных кружках. В классических школьных учебниках детям дают один-два рабочих алгоритма решения, который потом нужно отрабатывать на десятке задач. Из-за такого подхода я прямо с детства считала школьную математику скучной, ведь когда тебе в лоб дают решение, то нет азарта, радости успеха и чувства открытия. В учебниках Петерсон материал построен таким образом, чтоб дать детям возможность самим догадываться до решения, генерировать идеи и варианты, общаться с учителем и в диалоге находить решения. А до чего ребенок додумался сам уже не так легко забыть. Эти учебники ориентированы на понимание темы и самостоятельные открытия, а не зубреж. И это очень похоже на систему преподавания в кружках по олимпиадной математике. Именно так в диалоге мы приходим к решению на моих занятиях. Конечно, многие родители критикуют эти учебники, ведь привыкшие к классическим методам обучения, они смотрят на задачи с ужасом. Задания сформулированы странно и помочь своим детям они не могут. Ситуация особенно усугубляется, если школьный педагог сам не знает, как работать по системе Петерсон. Я слышала много отзывов от родителей, что математика с учебником Петерсон — это слезы и нервы у родителей и детей. Но в руках компетентного учителя эта программа позволяет заинтересовать детей, научить их самостоятельно мыслить и самим создавать алгоритмы решения. Поэтому среди родителей есть множество приверженцев этой системы, особенно если она дополняется классическими учебниками, такими, как учебник Гейдмана и Мишариной. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
В 🇬🇪Батуми мы приехали на местной электричке. Билеты можно купить онлайн, а собаку берут на борт бесплатно, если у нее есть переноска. От Тбилиси до Батуми 5 часов на поезде, и вот мы уже на море. Про Батуми мы заранее посмотрели обзоры блогеров, поэтому представляли себе, что нас ждет. Сейчас город активно застраивается и представляет собой огромную стройку. Вся набережная застроена отелями и небоскребами, поэтому если вы бывали в турецких отелях, пейзажи вам покажутся очень знакомыми. При этом есть красивый старый город, застроенный старинными зданиями не выше 5 этажа. Естественно, ценник на аренду в старом городе зашкаливает. Мы сняли на букинге номер в отеле, который находится в частом секторе. Отель, как и сектор, частный. Мы заехали в уютный номер, который после комнатки в Тбилиси нам показался дворцом. Две большие комнаты, огромная кровать, диван, отопление и ванная комната прямо в номере! После жизни на чемоданах такие очевидные вещи становятся ценностью. Хозяйка отеля предложила нам остановиться здесь надолго по той же цене, что мы платили в Москве за нашу однокомнатную хрущевку. И если мы остаемся, нам добавят в номер полноценную кухню/холодильник/стиральную машину. Мы пожили пару дней и поняли, что нам это подходит. Единственный минус — Асе особо негде гулять, но зато ее без проблем поселили в номер, а вы ведь знаете, что снять квартиру с питомцами всегда сложно. Так что теперь мы живем в Батуми в уютной квартирке в маленьком отеле на 12 номеров. Почти все номера сейчас заняты русскими айтишниками, а хозяева очень радушные люди. Хозяйка Гугуля помогла нам пройти все муки ада на почте, в банках и сопровождала нас на закупах мелочевки для дома. Мы потихоньку обустраиваемся и наводим уют, надеемся, что дальше все сложится хорошо. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Почему мне нравится учебник Гейдмана и Мишариной🧐 В позапрошлом году я решила попробовать вести школьную математику онлайн для моего племянника на семейном обучении. И под это дело у меня набралась группа. За основу я взяла учебник Гейдмана и Мишариной. Это сильный классический учебник. Ирина Евгеньевна очень хороший предметник начальной школы и при этом шикарный методист. Те, кто у нее учатся, выходят с четким пониманием того, зачем писать условие и как его записать, чтобы условие помогло в решении задачи. Кроме того, дети учатся аккуратно расписывать решения по шагам, не шаблонами и алгоритмами, а с пониманием того, что происходит. Ну а Борис Петрович Гейдман — он не только педагог, но и математик. Существует некоторое противостояние между методистами начальной школы и учеными математиками, ведь то, что с точки зрения математики верно, часто не годится для младших школьников, которым тяжело понять сложные концепции. А то, что аккуратно продумано методически для младших школьников, не всегда в общем виде в математике справедливо. Здесь можно вспомнить вечный конфликт о перестановке сомножителей, когда учителя началки настаивают на том, что менять сомножители местами нельзя. Поэтому когда хороший математик с хорошим методистом делают программу на классической основе и при этом углубляют ее и дополняют олимпиадными задачами, то получается прекрасный результат. Поэтому данный учебник я взяла за основу. А еще я имела честь быть знакомой с Ириной Евгеньевной и очень горжусь тем, что мне удалось с ней немного пообщаться. Так что этот учебник я смело рекомендую. Прекрасной связкой для семейного обучения станет дуэт учебников Гейдмана и Мишарина + Петерсон. Ну а книга Людмилы Георгиевны Петерсон заслуживает отдельного поста. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
В Тбилиси мы поселились в маленькой комнатке в самом центре города. Это был аутентичный старый трехэтажный дом: сначала вы проходите в коридор, который превращается в балкон, и от этого балкона идут двери в разные квартиры/комнаты. Наша комната была очень маленькая: в ней поместилась только небольшая кровать, стол и стойка для приготовления пищи. Центрального отопления там не было и нам выдали обогреватель. Но это не сильно спасало, так как старые двери в комнату закрывались неплотно и из них сильно дуло. Туалет и душ были в другой комнате, и чтобы до них дойти, нужно было выйти на балкон и пройти 4 метра. А в Тбилиси в это время года температура около нуля. Оказывается, для комфортной жизни нужен отапливаемый туалет. Но так как мы сняли эту комнату всего на пару дней, чтобы посмотреть столицу, то решили не сильно привередничать. Мы жили в самом центре городе. Выходишь из подъезда и тебе сразу кофейни, пекарни с разным хлебом, парк, река, горы, красота. За эти несколько дней мы успели посмотреть и центр столицы, и фешенебельные районы вдоль ул. Руставели, и советские человейники на окраинах города. Город нам понравился. Первое, что бросается в глаза — это собаки. В Москве нет бездомных собак, а если вы видите такую, то хватаете свого питомца на руки и обходите ее десятой дорогой. В Тбилиси сотни бездомных собак. Они все обработаны, чипированы и неагрессивны. Грузины любят собак, они строят им домики, а на улицах можно встретить автоматы для покупки корма. В Тбилиси пахнет свободой, вокруг приветливые люди, вкусная еда и всюду украинские флаги. Но мы поехали дальше, так как я мечтаю жить рядом с морем. Наш путь лежал в Батуми. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
По пути во Владикавказ мы познакомились с девушкой Дарьей, которая ехала в Тбилиси к своему молодому человеку. Оказалось, что у нас билеты на тот же автобус, поэтому мы поехали все вместе. Дарья хотела сделать своему парню сюрприз, поэтому не признавалась в своих планах и старалась "не палиться": отключила gps и не пользовалась банковской картой. В России у нее не было проблем, но когда она оказалась в Тбилиси, они навалились все разом. У нее не было роуминга, чтобы вызвать такси и хотя бы посмотреть гугл-карту. Не было наличных денег, обменников рядом тоже нет, а российские карты не работают на территории Грузии. Местные бомбилы затребовали с нее 30 лари за проезд до нужного места. Хорошо, что мы были все вместе. У моей подруги была и зарубежная банковская карта, и роуминг, и умение вызвать такси в незнакомой стране. Местный сервис такси запросил за дашину поездку 5 лари, а не 30, поэтому если вы до сих пор покупаетесь на предложения местных таксистов, то лучше так не делайте. В итоге она добралась до места назначения и написала нам, что сюрприз не удался: когда вы 36 часов на поезде практически без связи, а потом еще 6 часов просто не выходите на связь, то ваши близкие начинают что-то подозревать. Морали у этой истории нет, я просто рада, что смогла помочь человеку не потеряться ночью в незнакомом городе. -
Реклама
-
Знаменатель - Олимпиадная математика
#Листочки c занятий 4-5 февраля -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Мы переехали в Грузию🇬🇪 Наш кружок в количестве двух человек и одного мопса перебрался в солнечную Грузию. Это было тяжелое решение, ведь страшно уезжать в никуда, где нет ни знакомых, ни жилья, ни каких-либо гарантий нормальной жизни. Но оставаться в России мы больше не могли. 31 декабря 2022 года мы приняли решение уезжать. Три недели мы готовились, завершали все свои дела, продавали вещи и съезжали с нашей облюбованной квартиры. Было тяжело бросать накопленное за 3 года оседлой жизни: что-то мы продали, что-то отдали соседям, что-то пришлось выбросить. Самые ценные вещи мы отправили почтой России: три больших коробки. Признаюсь, самыми ценными для меня оказались клубочки пряжи, поэтому в Грузию отправилась целая коробка клубков. Как выяснилось золотых клубков, про это я расскажу позднее. В итоге в Грузию мы отправились с двумя большими рюкзаками с вещами и с мопсом в переноске. Наша Ася сделала приключение гораздо интереснее, ведь мопсам нельзя летать на самолете, поэтому мы поехали поездом до Владикавказа. 36 часов в поезде Ася провела как прилежная девочка, но сам ее миленький вид привлекал пассажиров, поэтому все время пути кто-нибудь приходил к нам в купе умиляться и играть с собакой. Во Владикавказе мы пересели на маршрутку и поехали в Тбилиси через всем известный Верхний Ларс. Нам повезло, дорога была открыта, документы проверили быстро и без проблем. Самой тяжелой для нас оказалась горная дорога до Тбилиси, которая по ощущениям напоминала американские горки. И мы катались по этим горкам около 4 часов, но и тут Ася вела себя как прилежная девочка и всю дорогу просто спала. Мы добрались до Тбилиси и... здесь я оборву свой рассказ, ведь за это время случилось много чего интересного, буду рассказывать вам частями. -
Знаменатель - Олимпиадная математика
Математические игры или как гарантированно побеждать Как думаете, в шахматы обычно выигрывают черные или белые? Если играю я, то проигрываю вне зависимости от цвета фигур. А в математических играх результат заранее предопределен. Наверное поэтому я обожаю в них играть и выигрывать, в отличие от шахмат, где я на пятом ходу зеваю ферзя и разбрасываю фигуры по доске. Рассмотрим простую задачу. На столе лежит 25 спичек. Играющие по очереди могут взять от 1 до 4 спичек. Кто не может сделать ход, проигрывает. Другими словами, выигрывает взявший последнюю спичку. В этой игре второй игрок может гарантировать себе выигрыш. Для этого он должен дополнять ход первого до пяти спичек: если первый взял 1, второй берёт 4, если первый взял 2, то второй — 3 и так далее. Тогда после хода второго сначала останется 20 спичек, затем 15, затем 10, 5 и, наконец, 0 — первый проиграл. Существует несколько типов математических игр и у каждого типа свое решение. 🌼Игры-шутки. Задачи, где исход зависит не от процесса игры, а от очередности хода. В таких играх главное определить, кто выигрывает, первый игрок или второй. 🦋Симметрия и разбиение на пары. Основная идея таких игр состоит в ходах, симметричных ходу соперника. Симметрия бывает осевая и центральная. При разбиении на пары доска разбивается на пары клеток, если один игрок открывает новую пару, то другой всегда имеет возможность её продолжить. ❤️Дополнение. Каждым ходом игрок может дополнять ходы соперника до определённого числа. Часто бывает, что число дополнение — сумма самого маленького и самого большого хода. Если есть остаток от деления общего числа элементов на число дополнения, выигрывает первый — забирает остаток, а потом добирает. Иначе — второй, просто добирает до числа. ☘️Анализ позиций. Часто ведется с конца — анализируем, какие из позиций приводят к выигрышу и как на них всегда попадать. Позиция называется проигрышной в том случае, если загнав туда соперника, мы побеждаем. Если из позиции можно отправить соперника в проигрышную, то она является выигрышной. Если нельзя, то она сама является проигрышной. Если исходная позиция выигрышная, то побеждает первый игрок, иначе — второй. Дети любят такие игры, ведь с помощью математической хитростью можно обыгрывать и сверстников, и родителей. В канале есть несколько листочки на тему симметрия и дополнение, попробуйте и вы.