Инварианты — это самая потрясающая вещь в олимпиадной математике Это было в летней матшколе под Костромой, и знакомство с инвариантами стало для меня 10-летней целым откровением. Мне попалась сложная задача На волшебном дереве растут апельсины и бананы, срываешь 2 разных фрукта — вырастает банан, срываешь 2 одинаковых — вырастает апельсин, какой фрукт будет в конце? Откуда мне было знать, что будет в конце? Я думала, что нужно перебрать частные случаи, начала перебирать их, а ответ один и тот же. Я задумалась, почему так, и меня осенило. Ведь здесь не меняется четность одного из фруктов. И простая идея о том, что нечто может не меняться, решает всю задачу. Для меня это было удивительным открытием. 🌼Четность и делимость Инвариант — это то, что не меняется в задаче. В самом простом виде инвариантом выступает четность. А еще бывает делимость. Например, задача: Оксана купила 27 пакетиков корма для Аси, 3 пачки антидепрессантов и 15 чизбургеров. Могла ли она потратить 5 000 рублей? Не могла, потому что все ее покупки делятся на 3, а 5 000 рублей на 3 не делится. Нам при этом не нужно выяснять, сколько стоила каждая позиция и сошлась ли сумма чека. 🔰Раскраски и последние цифры Раскраска — еще один инвариант. Такая раскраска используется в задачах, где ходят кони по шахматной доске или клопы прыгают по клеткам. Здесь нам нужно смотреть, как ведут себя цвета клеток. Если одна раскраска не сработала, то пробуем другую. Еще в качестве инвариантов выступают остатки или последняя цифра числа. Например, может ли число 35198437 быть квадратом натурального числа? Не может, потому что квадраты натуральных никогда не заканчиваются на 7. ⚡️Инварианты в других науках Но инварианты существуют не только в олимпиадной математике. Есть серьезные инварианты во взрослой математике, например, определитель, след, собственные вектора и собственные значения матрицы инвариантны относительно выбора базиса. А еще инварианты есть и в лингвистике, фольклористке, музыке, программировании и даже истории. Вот так, обожаю инварианты.