Ежидзе. Страница 5

​​428. На доске написаны два числа: 23 и 29. Каждую минуту Гермиона одно из чисел на доске уменьшает на 1, а другое записывает в блокнот. Так она делает до тех пор, пока оба числа на доске не станут нулями. а) Сколько чисел будет написано в блокноте? б) Какова будет сумма этих чисел?

#олмат
#текстовыезадачи

427. Назовем натуральное число интересным, если сумма его цифр — простое число. Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

#олмат
#тч

426. Сумма цифр натурального числа 3k−1 равна сумме цифр натурального числа 2k+2. Могут ли быть равными суммы цифр чисел 3k−2 и k+1?

#олмат
#тч

425. На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.

#олмат
#текстовыезадачи

​​424. Квадратную салфетку сложили пополам, полученный прямоугольник сложили пополам еще раз. Как разрезать полученный квадратик ножницами по прямой, чтобы салфетка распалась а) на 2 части? б) на 3 части? в) на 4 части? г) на 5 частей?

#олмат
#разрезания

#информация

​​Вопрос 222. Кто был первым в Европе, кто использовал отрицательные числа?

#раздатка

​423. Решите уравнение в целых числах: x³ + y³ = 2³⁰.

#олмат
#тч

422. В ряд выписаны действительные числа a₁, a₂, a₃, ..., a₂₀₁₈. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.

#олмат
#тч

421. Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

#олмат
#геом

420. В каждой клетке доски 8×8 написано некоторое натуральное число так, что у каждой пары клеток, соседних по ребру, числа отличаются на 1. Найдите наибольшую возможную сумму чисел на главных диагоналях, если на доске присутствуют числа 6 и 20.

#олмат

419. У каждого из 11 островитян на лбу надпись «рыцарь» или «лжец». Островитяне видят все надписи, кроме своей, и заявляют «Все надписи, которые я вижу, соответствуют действительности». Сколько рыцарей могло быть среди них?

#олмат
#логика

​418. На описанной окружности равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) лежит точка D. Она расположена на дуге CB, не содержащей точку A. Докажите, что AB + BC > AD + DC.

#олмат
#геометрия

417. Отрезок [0;1] разделили на 2¹⁰⁰ равных частей. В каком отношении (считая от левого конца) точка 1/3 делит ту часть, в которую попадает?

#олмат
#тч

416. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться произведение трех натуральных чисел, если их сумма равна 2003?

#олмат
#тч

415. Существует ли многочлен P(x) такой, что P(1)=1, P(2)=2, P(3)=3, P(4)=4, P(5)=5, а его значения при всех остальных натуральных x – иррациональны?

#олмат
#многочлены

​414. Докажите, что среди чисел, записываемых только цифрами 1 и 0, найдется число, кратное 414414.

#олмат
#делимость

413. На новогоднюю ёлку отправились 30 учеников. Они построились парами так, что ровно половина всех девочек оказалась в парах с мальчиками. Докажите, что их не удастся перестроить так, чтобы ровно половина всех мальчиков оказалась в парах с девочками.

#олмат
#текстовыезадачи