Откуда же берутся признаки делимости? Еще Блез Паскаль сформулировал признак делимости любого натурального числа на любое натуральное число. Звучит этот признак следующим образом: натуральное число <b>а разделится на другое натуральное число <i>b только в том случае, если сумма произведений цифр числа <i>а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число <i>b, делится на это число. От такого определения кружится голова, но именно оно является универсальным признаком делимости и на его основании можно вывести все частные признаки, которые я перечислила в прошлом посте. А еще и любые другие, хоть признак делимости на 27 или 538. Итак, попробуем разобраться. 🤷‍♂️Алгоритм работы по признаку Паскаля Мы хотим узнать признак делимости на любое число, пусть оно будет <b>n для числа abc. Вместо этих букв можно подставить любые цифры. Мы берем число и раскладываем его на сумму разрядных слагаемых, то есть число вида abc в десятичной системе мы записываем в виде 100×a + 10×b + 1×c. Эти буквы мы пока опускаем и высчитываем остатки от деления разрядов на <b>n, то есть это будут 100/n, 10/n и 1/n. А теперь вместо разрядов 100, 10 и 1 мы подставляем остатки, которые получились от деления на <b>n, умножаем их на цифры abc и суммируем. Если полученное число делится на <b>n, то и число abc делится на <b>n. Используем конкретные числа, чтобы стало еще понятнее. 😱Определяем признак делимости на 3 Например, мы хотим сформулировать признак делимости на 3. Возьмем число 1236, оно раскладывается на 1000+200+30+6 = 1×1000 + 2×100 +3×10 +6×1. У него четыре разряда 1000, 100, 10 и 1. Выясним остатки при делении этих разрядов на 3. Так как из всех этих разрядов мы можем выкинуть 999, 99 и 9, так как они заведомо делятся на 3, то все остатки в данном случае равны 1. Теперь вместо тысяч, сотен и десятков подставляем везде наши остатки, то есть единицы Получаем 1 + 2 + 3 + 6 = 12. 12 на 3 делится, значит и 1236 делится на 3. Так как в случае тройки остатки всегда равны 1, проводить эти вычисления каждый раз нет нужды, поэтому записываем кратко, что общий признак делимости на : "На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3" 💃Определяем признак делимости на 5 Теперь попробуем с 5. Возьмем число 2462565. Его разряды это 1000000, 100000, 10000, 1000, 100, 10 и 1. Видно, что у всех, кроме единицы остаток от деления на 5 нулевой, а значит при умножении все обратится в нуль. Нам нужно смотреть только на последнюю цифру, и остаток от деления единицы на 5 — это единица. Значит нам нужно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5. Это и есть признак делимости на 5. При помощи такого алгоритма можно вывести любые признаки делимости, если вы забыли какой-то конкретный или вам понадобилось определить признак делимости на 89. А что самое славное, признак Паскаля работает не только для десятичной системы. Хотите искать призраки делимости для шестнадцатеричной или двоичной системы? Пожалуйста, только вместо десяток в разрядах у вас будут 16 и 2.