Продолжите последовательность 1, 3, 6, 10. Как вы думаете, какое число будет следующее? Детей первым делом учат смотреть разницу между первыми элементами последовательности. От 1 до 3 прибавили 2, от 3 до 6 прибавили 3, от 6 до 10 прибавили 4. Логично, что дальше мы прибавим 5 и получим 15. Потом прибавим 6 и получим 21. Казалось бы, просто последовательность, которую может решить даже второклассник, но вокруг нее строится много олимпиадных задач. Так, мы можем рисовать сверху вниз сначала 1 точку, потом 2, потом 3. Если мы посмотрим на первую и вторую строчку, то получим 3, на все три строчки, получим 6. С каждым новым рядом точек будет получаться новое треугольное число, а сами точки образуют треугольник. Существует много задач, в которых ответы крутятся вокруг треугольных чисел. Например: Сколько доминошек в стандартном наборе домино? Самая маленькая домино — это 0/0. Самая большая — 6/6. А между этими числами есть все доминошки, взятые по одному разу. Я учу детей рассматривать задачу с более маленькой. Если бы все доминошки были только пустышками, она была бы одна — 0/0. Когда мы добавляем единичку у нас добавляется 0/1 и 1/1. Теперь три доминошки. Добавляем двойку и появляются 0/2, 1/2 и 2/2. И теперь их шесть. Когда мы добавляем новое число на доминошки, их количество становится равным следующему треугольному числу. Другая задача: однокруговой турнир, когда каждый играет с каждым 1 раз. Один игрок ни с кем бы не играл, было бы 0 партий. Если игрока два, они поиграют друг с другом и будет 1 партия. Если игроков три, то партий 3. Когда приходит четвертый, он должен поиграть со всеми предыдущими и партий станет 6. Следующий добавит 4, еще один 5. И количество партий будет расти согласно треугольным числам. Или на плоскости нарисованы прямые линии, а мы смотрим их точки пересечения или на сколько кусков они делят плоскость. Прямые линии мы проводим так, чтобы они пересекали все предыдущие в новых точках. Это значит, что не будет параллельных прямых или пучков, где сходятся больше 3 линий. Здесь точки пересечения и куски плоскости точно также прыгают по треугольным числам, но с некоторой оговоркой.