Тема, принцип и идея Мы вчера со школьниками рассматривали задачу: на доске 4*4 в каждой клетке стоит либо рыцарь, либо лжец. И каждый из них говорит фразу "все мои соседи по стороне лжецы". Какое наибольшее количество лжецов может быть на этой доске? Когда я спрашиваю у детей, на какую тему эту задача, они единогласно отвечают, что рыцари и лжецы. Для решения задач на эту тему специфических знаний не нужно, но требуется понимать логическую структуру. Если лжец говорит фразу "все мои соседи лжецы" и это ложь, то что тогда правда? Детям хочется ответить, что "все его соседи рыцари". Но это тоже вранье, потому что между утверждением и его отрицанием одно должно быть правдой, а второе — ложью. Это закон исключенного третьего. А в нашей формулировке этот закон не выполняется. Как построить отрицание по законам логики? Отрицанием ко фразе "все мои соседи лжецы" будет "среди моих соседей есть хотя бы один рыцарь". Значит задача уже не на тему рыцарей и лжецов, а на тему утверждений и отрицаний. Однако вопрос задачи состоит в подсчете наибольшего количества рыцарей. И ответ придется строить уже при помощи третьей темы: принцип рассуждения оценка плюс пример. В задачах на наибольшее/наименьшее ответ состоит из трех частей: ⭐️предъявить ответ, например, 12 лжецов на доске; ⭐️показать размещение этих лжецов на доске; ⭐️и привести оценку, почему больше лжецов не влезает. И если какой-то пункт в рассуждении отсутствует, то задача не считается решенной. Ну а чтобы привести оценку я советую использовать универсальные идеи, которые встречаются в самых разных задачах. Идея первая — разбиение на фрагменты. В нашей задаче мы можем разбить доску на полоски или на квадраты 2*2. Разрезание на квадраты в нашей задаче подойдет лучше всего. Идея вторая — рассуждать от угла. Угол — это узкое место, в наших квадратах 2*2 должно быть по 1 рыцарю, потому что если рыцаря нет, то угловой лжец говорит правду. А для того, чтобы нарисовать пример, сработает моя любимая идея вентилятора, когда решение закручивается относительно центра. Давайте поставим рыцаря к стенке, но не в угол. А в остальных квадратах рыцарей закрутим вентилятором. Вот так для решения простой задачи про рыцарей и лжецов нужно уметь строить отрицания, приводить оценку, предъявлять пример и использовать фундаментальные идеи решения задач. С идеями есть проблема, что в маткружках их почти не тренируют. Есть листочки на темы, есть на рассуждения. А листочки на общие идеи встречаются очень редко. Такой подход в решении задач любит Игорь Борисович Писаренко, который организовывает летние лагеря малого мехмата и Академии магистров. Также Александр Васильевич Шаповалов рассматривает фундаментальные идеи в своих книгах "Принцип узких мест" и "От хижин к дворцам". А еще я рекомендую к прочтению книгу Дьердь Пойа "Как решать задачу", книгу сложную, но полезную.