Растягивание слона🐘 Давайте рассмотрим задачу. У вас есть кубический кусочек мыла. Вы семь раз помыли этим мылом одно и то же место, после чего кусочек уменьшился в два раза по длине, ширине и высоте. На сколько ещё помывок того же места хватит оставшегося маленького кубического кусочка мыла? Первый ответ, который дают дети, ещё на 7 помывок. Логика, по которой получился этот ответ, понятна — раз мы в два раза уменьшили кубик по всем измерениям, то он уменьшился в два раза. И это, конечно, враньё. Чтобы понять, что происходит с кусочком мыла, сначала посмотрим на плоскость. Растягиваем квадраты🟩 Нарисуем квадрат 1х1. А теперь растянем каждую его сторону в 2 раза. У нас получится квадрат 2х2. Во сколько раз увеличилась его площадь? Видим, что в большом квадрате маленький укладывается 4 раза. Если же мы измерим периметр первого и второго квадрата, то увидим, что он отличается в 2 раза. То есть при растягивании всех сторон квадрата в 2 раза, периметр увеличился в 2 раза, а площадь — в 4. Теперь нарисуем квадрат 3х3. Во сколько его периметр и площадь увеличились относительно исходного единичного квадрата? Оказывается, что периметр увеличился тоже в 3 раза, а площадь в 3х3=9 раз. Растягиваем кубы🧊 Переходим от квадратов к кубам. Если рассмотреть маленький кубик 1х1х1 и кубик 2х2х2, то сколько маленьких кубиков укладывается в большом? Кубики удобно считать по этажам: 2 слоя в каждом по 4 куба, то есть 8 штук. Получается, что если в 2 раза растянуть каждую сторону куба, то его объем увеличивается в 2х2х2=8 раз. Если же растянуть каждую сторону куба в 3 раза, то его объем увеличивается в 3х3х3=27 раз. Оказывается, это работает не только с кубами. Если все линейные размеры какого-то объекта растянуть в одинаковое количество раз, например в 5, то все площади этого объекта увеличатся в 5х5=25 раз, а все объемы в 5х5х5=125 раз. Растягиваем слона😱 Чтобы усвоить эту простую идею, мы мысленно растягиваем на занятии слона. Жил-был математический слон. Мы взяли и растянули все его линейные размеры в 2 раза (математические слоны получают большое удовольствие от растягивания). А теперь вопросы на понимание: во сколько раз увеличилась длина хобота слона? Во сколько раз увеличилась площадь попы слона? Во сколько раз увеличился объём головы слона? Во сколько раз увеличилась тень слона и отпечаток его ноги? Вопрос про объем какашек слона оставим открытым. Такая простая идея помогает на ЕГЭ (хотя кто его знает, что там будет дальше на ЕГЭ), иногда вместо долгих вычислений достаточно просто применить идею, что у подобных фигур с каким-то коэффициентом площади соотносятся как этот коэффициент в квадрате, объемы — как коэффициент в кубе. Ну а теперь вернёмся к кусочку мыла. Если после семи помывок все его линейные размеры уменьшились в 2 раза, то на сколько ещё помывок хватит оставшегося кусочка?