Почему в конце разговора говорят «давай»?

Скорее всего, это эвфемизм слова "Бывай", и звучит похоже. А содержательно, это начало длинной тирады типа, "Давай не пропадай!", "Давай как-нибудь ещё увидимся!" и т.п., остаток которой и так ясен без слов.
Интересный факт: в Латвии эту традицию переняли латыши. В конце разговора, позаимствовав эту кальку у русскоязычных, принято говорить "davaj" (давай).