Повелительное наклонение с глаголом let.

Сам по себе глагол let значит "позволять", "разрешать".

Например:

She let me go. - Она позволила мне уйти.

Повелительная форма этого глагола употребляется в значении не только "позвольте", но и "пусть", "давайте":

Let me take your coat. - Разрешите, я возьму ваше пальто.
Let me do it. - Давайте, я это сделаю.
Let him read it. - Пусть он это прочитает.

Выражение let's - сокращение от let us. Слово us переводится "нас", "нам".

Let's go to the cinema. - Давай(те) пойдём в кино.
Let's begin our work. - Давай(те) начинать работу.
Let's meet in the evening. - Давай(те) встретимся вечером.