Камбэк!
Не могу я держать в себе всё то, что дарят мне мои студенты, поэтому вот.

He swims more than me. ❌✅
Классически не верно, но в разговорной речи используется повсеместно и проблем с пониманием не вызывает.

He swims more than I. ✅
В этой фразе всё прекрасно. Добавьте ещё вспомогатель do в конце - и где-то улыбнётся ваша школьная учительница английского.

He likes swimming more than me. ❌

Разговорное высказывание, которое могло бы сработать в повседневной речи, если бы не одно НО. Перевести его можно так:
Ему нравится плавать больше, чем мне.
или
Ему нравится плавать больше, чем нравлюсь я.

He likes swimming more than I. ✅
Это предложение не даст вашей второй половине повода для ревности.