Качаться на качелях просто — с этим справится любой ребенок. Гораздо сложнее построить адекватную физическую модель этого занятия. С этим недавно справилась команда японских физиков.  Они применили вариационное исчисление. Чтобы получить лагранжиан, им нужно было задать обобщенные координаты осцилляторов. Физики характеризовали качели длиной цепи и углом ее отклонения, а человека — с помощью трех жестких отрезков с распределенной массой, соответствующих неподвижному тазу, а также подвижным ногам и верхней части тела, которые могли отклоняться на некоторые углы. Решение уравнения Эйлера — Лагранжа позволило исследовать прирост амплитуды за один период колебания качели как функцию от амплитуды качелей, длины цепи и разности фаз между колебаниями тела и качелей с учетом сопротивления воздуха. Физики построили эти зависимости для человека ростом 1,58 метра и массой 50 килограмм. Расчеты показали, что оптимальное раскачивание требует подстраивания фазы отклонений тела под амплитуду колебания качелей. Затем авторы позвали 10 девушек и попросили их покататься на качелях так, как они делали это в детстве. Всего качелей было три, с разными длинами цепей: 1,61, 1,81 и 2,01 метра. Качели и одежда добровольцев были снабжены оптическими метками, которые считывали четыре камеры. В целом девушки интуитивно следовали предложенной модели. Небольшие отличия ученые связали с тем, что трение в уравнении было введено в упрощенной форме. Эксперимент подтвердил главное предсказание теории: пока амплитуда мала, отклоняться лучше в точке, в которой цепь качелей вертикальна (разность фаз π/2), но при больших амплитудах эффективнее будет отклоняться тогда же, когда отклонение качелей максимально (разность фаз 0).