А почему именно "в белом"?
Первый вопрос, который возникает при знакомстве с этим выражением.
Может, белые ночи, Питер, все не спят...

Нет, Питер тут ни при чем (хотя как ассоциация для запоминания пойдёт прекрасно). Дело уходит далеко в средневековье, когда юноши, которых посвящали в рыцари должны были проводить перед церемонией бессонную ночь в белой одежде в знак очищения.
Вот оттуда все и пошло.
А своем современном значении "провести бессонную ночь"
это выражение ввёл в итальянский знаменитый итальянский писатель Итало Кальвино сравнительно недавно, в 1952 году, в своём прозведении "Раздвоенный виконт".

Кстати, единственная итальянская общеобразовательная школа в Москве названа именно его именем. Школа Итало Кальвино.