​​Задание № 13 в ЕГЭ профильной математики может решить каждый
Приветствую, сообщество Хакнем! По последней информации ЕГЭ по математике профильного уровня состоится 10 июля 2020 года. В этой статье я предлагаю окунуться в мир тригонометрических уравнений и порешать задачи № 13 (С1) из ЕГЭ на тему «Уравнения».
🧮
Задача 1
а) Решите уравнение sin2x + √3sinx = 0
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2;7π/2].

Решение:
Преобразуем уравнение, применив формулу синуса двойного угла
sin2x = 2sinxcosx, и решим его способом разложения на множители
2sinxcosx + √3sinx = 0
sinx (2cosx + √3) = 0
sinx = 0 или 2cosx + √3 =0
x = πk, kϵƵ 2cosx =- √3
cosx = -√3/2
x = ±arccos(-√3/2) + 2πk, kϵƵ,
x = ±(π – π/6) + 2πk, kϵƵ,
x = ±5π/6 + 2πk, kϵƵ.

Итак, мы получили в совокупности 3 корня уравнения:
x = πk
x = 5π/6 + 2πk
x = -5π/6 + 2πk, kϵƵ
❗️Ответ: πk, ±5π/6 + 2πk, kϵƵ.

б) Осталось выбрать корни уравнения, принадлежащие отрезку 5π/2;7π/2, для этого используем числовую окружность (мне кажется, это самое сложное для школьников).

Сначала разберёмся — какую часть круга представляет этот отрезок:
5π/2 = 2π + π/2, т.е. это 1 полный круг и ещё четверть круга (2,5π)
7π/2 = 3π + π/2 — это 1 круга и ещё ¾ (3,5π).
На единичной окружности это будет II и III координатные четверти (см. рисунок ниже).
❇️ при k = 1
x = π, не принадлежит нашему отрезку;
x = 5π/6 + 2π = 17π/6 принадлежит отрезку;
x = -5π/6 + 2π = 7π/6 не принадлежит (если непонятно почему выделите целую часть π)

❇️ при k = 2
x = 2π, не принадлежит отрезку;
x = 5π/6 + 4π =29π/6, не принадлежит
x = -5π/6 + 4π = 19π/6 принадлежит,

❇️ при k = 3
x = 3π, принадлежит отрезку;
x = 5π/6 + 6π =41π/6, не принадлежит
x = -5π/6 + 6π = 29π/6 не принадлежит,
При k = 4, 5, 6, …, а также 0 и отрицательных числах все корни не будут принадлежать отрезку.

Итак, вышеуказанному отрезку принадлежат корни: 17π/6, 3π, 19π/6.
❗️Ответ: 17π/6, 3π, 19π/6.

В продолжении статьи на Дзен смотрите задачу № 2.

Автор: Ирина, 41 год, город Ярославль, мама 16-летнего подростка.