В предыдущем доказательстве формулы Герона мы пользовались тем, что ctg(A/2)=(p-a)/r. В комментариях научили, что можно написать аналогичное равнество для вневписанной окружности — ctg(A/2)=r_c/(p-b) — и формула Герона получится мгновенно даже без тригонометрии. Действительно, равенство двух выражений для котангенса означает, что (p-a)(p-b)=rr_c, а тогда p(p-a)(p-b)(p-c)=pr×(p-c)r_c=S².