Пусть вписанная в треугольник окружность имеет радиус r и делит стороны на отрезки x,y,z. Тогда xyz=r²(x+y+z) (*) (например, для египетского треугольника (*) превращается в равенство 1+2+3=1×2×3). Из (*) сразу следует формула Герона: домножим обе части на p — получим pxyz=pr×r(x+y+z)=S². Чтобы доказать (*), перепишем его в виде (x/r)(y/r)(z/r)=(x/r)+(y/r)+(z/r) и заметим, что каждое из отношений — это котангенс половины соотвтествующего угла треугольника. Мы знаем, что ctg(A/2+B/2+C/2)=ctg(π/2)=0, а в числителе формулы для котангенса суммы как раз стоит сумма трех котангенсов минус их произведение (ну и как обычно с триг. формулами, можно вместо вычислений рисовать картинку — см. видео выше).