И признак равногранного тетраэдра, и его обобщение выше совсем легко следует из теоремы Минковского о ежах. Про теорему Минковского и ее следствия можно послушать лекцию В.Ю.Протасова на ЛШСМ-2019 (рассуждение про тетраэдры примерно через 30 минут от начала). Видео: http://www.mathnet.ru/present24980