​​Either может переводиться как "или" и часто используется с or.
Например:
Either John or Pete did this.
Или Джон, или Пит сделал это.

Neither часто используется с nor, и это сочетание переводится как "ни... ни". Например:
Neither John nor Pete did this.
Ни Джон, ни Пит не делал этого.

Теперь о согласии с собеседником.

Все вы знаете, что фраза "Я тоже" часто переводится как Me too.
Но это далеко не все.

Если предложение утвердительное:
I like coffee. - Я люблю кофе.
Вы можете ответить:
So do I / Me too - Я тоже.

Если предложение отрицательное:
I don't like coffee. - Я не люблю кофе.
Вы можете ответить:
Neither do I / Me either / Me neither - Я тоже.

Обратите внимание, что мы используем глагол Do (как в So do I), потому что в предложении, с которым мы соглашаемся, использовано Present Simple.

Если бы там было, например, Present Perfect, нужно было бы использовать Have (So have I). То же с остальными временами.

И напоследок расскажу об одной распространенной ошибке.

Наверняка, вы не раз слышали или сами говорили фразы типа:
I don't like it too.
I also don't like it.

Так вот, это неверно! Слова too и also подходят только для утвердительных предложений.

Верно будет:
I don't like it either.